数学归纳法高考真题解析

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

21．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列。给出两个性质：
（1）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j}(i>j)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}}=a_{m}$ ；

（2）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意项 $a_{n}(n \ldots 3)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l}(k>l)$ 。使得 $a_{n}=\frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．
（I）若 $a_{n}=n(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否满足性质①，说明理由；
（II）若 $a_{n}=2^{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（III）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列。