数学归纳法高考真题解析

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

21．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列。给出两个性质：
（1）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j}(i>j)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}}=a_{m}$ ；

（2）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意项 $a_{n}(n \ldots 3)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l}(k>l)$ 。使得 $a_{n}=\frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．
（I）若 $a_{n}=n(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否满足性质①，说明理由；
（II）若 $a_{n}=2^{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（III）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列。

17．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ ．
（1）计算 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

22．（15 分）已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=1, x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明：当 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 时，
（ I ） $0（II） $2 x_{n+1}-x_{n} \leqslant \frac{x_{n} x_{n+1}}{2}$ ；
（III）$\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．

20．（13 分）设数列 $A: a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}(N \geqslant 2)$ 。如果对小于 $n(2 \leqslant n \leqslant N)$ 的每个正整数 $k$ 都有 $a_{k}（I）对数列 A：－2，2，－1，1，3，写出 $\mathrm{G}(\mathrm{A})$ 的所有元素；
（II）证明：若数列 $A$ 中存在 $a_{n}$ 使得 $a_{n}>a_{1}$ ，则 $G(A) \neq \varnothing$ ；
（III）证明：若数列 $A$ 满足 $a_{n}-a_{n-1} \leqslant 1(n=2,3, \ldots, N)$ ，则 $G(A)$ 的元素个数不小于 $a_{N}-a_{1}$ ．

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1} \in N^{*}, a_{1} \leqslant 36$ ，且 $a_{n+1}= \begin{cases}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n}>18\end{cases} (n=1,2, \ldots)$ ，记集合 $M=\left\{a_{n} \mid n \in N^{*}\right\}$ 。
（I）若 $a_{1}=6$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；
（II）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
（III）求集合 $M$ 的元素个数的最大值．

26．（10分）（2015•江苏）已知集合 $\mathrm{X}=\{1,2,3\}, \mathrm{Y}_{\mathrm{n}}=\{1,2,3, \ldots, \mathrm{n}) ~\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ ，设 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \mid \mathrm{a}\right.$ 整除 b 或整除 $\left.\mathrm{a}, ~ \mathrm{a} \in \mathrm{X}, ~ \mathrm{~B} \in \mathrm{Y}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，令 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 表示集合 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 所含元素的个数。
（1）写出 f （6）的值；
（2）当 $n \geq 6$ 时，写出 $f(n)$ 的表达式，并用数学归纳法证明．

## 2015年江苏省高考数学试卷

22．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，$b_{n}=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right), e$ 为自然对数的底数．
（I）求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^{x}$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（II）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} \cdots b_{n}}{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ 的公式，并给出证明；

（III）令 $c_{n}=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$，数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$，证明：$T_{n}

22．（12分）函数 $f(x)=\ln (x+1)-\frac{a x}{x+a}(a>1)$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\ln \left(a_{n}+1\right)$ ，证明：$\frac{2}{n+2}

26．（10分）（2014 •江苏）已知函数 $f_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}(x>0)$ ，设 $f_{n}(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数， $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ．
（1）求 $2 f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2} f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值；
（2）证明：对任意 $n \in N^{*}$ ，等式 $\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4} f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立。

## 2014年江苏省高考数学试卷

19．（本小题满分 14 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}=2 n a_{n+1}-3 n^{2}-4 n, n \in N^{*}$ ，且 $S_{3}=15$ ，
（1）求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

22．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}-2 a_{n}+2}+b\left(n \in N^{*}\right)$
（I）若 $b=1$，求 $a_{2}, a_{3}$ 及数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b=-1$，问：是否存在实数 $c$ 使得 $a_{2 n}

22．（12分）函数 $f(x)=x^{2}-2 x-3$ ，定义数列 $\{$
$\left.x_{n}\right\}$ 如下：$x_{1}=2, x_{n+1}$ 是过两点 $P(4,5), Q_{n}( \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{f} x_{n}$ ））的直线 $P Q_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
（I）证明： $2 \leq x_{n}（II）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式。

20．（13分）（2011•北京）若数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 2)$ 满足 $\left|\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}-\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\right|=1 ~(\mathrm{k}=1, ~ 2, ~ \ldots , n-1)$ ，数列 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$ ．
（I）写出一个满足 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{s}}=0$ ，且 $\mathrm{S}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{s}}\right)>0$ 的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；
（II）若 $\mathrm{a}_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明： E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 是递增数列的充要条件是 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2011$ ；
（III）对任意给定的整数 $n(n \geq 2)$ ，是否存在首项为 0 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ，使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ ？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；如果不存在，说明理由。

22．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ ．
（I）设 $\mathrm{c}=\frac{5}{2}, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求使不等式 $a_{n}

22．（14分）（2009 •陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ；
（1）猜想数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 的单调性，并证明你的结论；
（II）证明：$\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant \frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$ ．

22．（12分）设函数 $f(x)=x-x \ln x$ ．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0（I）证明：函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 是增函数；
（II）证明：$a_{n}（III）设 $\mathrm{b} \in\left(\mathrm{a}_{1}, 1\right)$ ，整数 $\mathrm{k} \geqslant \frac{\mathrm{a}_{1}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}_{1} \ln \mathrm{~b}}$ ．证明： $\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}>\mathrm{b}$ ．

22．（本小题满分 14 分）
在 数 列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, b_{1}=4$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n S_{n+1}-(n+3) S_{n}=0,2 a_{n+1}$ 为 $b_{n}$ 与 $b_{n+1}$ 的等比中项，$n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
（I）求 $a_{2}, b_{2}$ 的值；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（III）设 $T_{n}=(-1)^{a_{1}} b_{1}+(-1)^{a_{2}} b_{2}+\ldots+(-1)^{a_{n}} b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明 $\left|T_{n}\right|<2 n^{2}, n \geqslant 3$ ．

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

## 数学（理工类）参考解答

21．（本小题满分 12 分）
在数列 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 中，$a_{1}=2, b_{1}=4$ ，且 $a_{n}, b_{n}, a_{n+1}$ 成等差数列，$b_{n}, a_{n+1}, b_{n+1}$ 成等比数列 $\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
（I）求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 及 $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，由此猜测 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 的通项公式，并证明你的结论；
（II）证明：$\frac{1}{a_{1}+b_{1}}+\frac{1}{a_{2}+b_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+b_{n}}<\frac{5}{12}$ ．

（22）（本题 14 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{n} \geq 0, a_{1}=0, a_{n+1}^{2}+a_{n+1}-1=a_{n}^{2}\left(n \in N^{\bullet}\right)$ ．记

$$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} . T_{n}=\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)} . $$

求证：当 $n \in N^{\bullet}$ 时，
（ I ）$a_{n}（II）$S_{n}>n-2$ ；
（III）$T_{n}<3$ 。