2015 高考数学第 20 题答案解析

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1} \in N^{*}, a_{1} \leqslant 36$ ，且 $a_{n+1}= \begin{cases}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n}>18\end{cases} (n=1,2, \ldots)$ ，记集合 $M=\left\{a_{n} \mid n \in N^{*}\right\}$ 。
（I）若 $a_{1}=6$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；
（II）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
（III）求集合 $M$ 的元素个数的最大值．