（13 分）已知数列 a_ n 满足： a_ 1 N^ *…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【考点】 8 H ：数列递推式．
【专题】2：创新题型；55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（I）$a_{1}=6$ ，利用 $a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n>18}\end{array}\right.$ 可求得集合 $M$ 的所有元素为 6，12，24；
（II）因为集合 $M$ 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 $a_{k}$ 是 3 的倍数，由 $a_{n+1}= \left\{\begin{array}{ll}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n}>18\end{array}(n=1,2, \ldots)\right.$, 可归纳证明对任意 $n \geqslant k, a_{n}$ 是 3 的倍数；
（III）分 $a_{1}$ 是 3 的倍数与 $a_{1}$ 不是 3 的倍数讨论，即可求得集合 $M$ 的元素个数的最大值。

【解答】解：（I ）若 $a_{1}=6$ ，由于 $a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n>18}\end{array}(n=1,2, \ldots), M=\left\{a_{n} \mid n\right.\right.$

$\left.\in N^{*}\right\}$.
故集合 M 的所有元素为 $6,12,24$ ；
（II）因为集合 $M$ 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 $a_{k}$ 是 3 的倍数，由 $a_{n+1}= \left\{\begin{array}{ll}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n}>18\end{array}(n=1,2, \ldots)\right.$, 可归纳证明对任意 $n \geqslant k, a_{n}$ 是 3 的倍数。
如果 $k=1, M$ 的所有元素都是 3 的倍数；
如果 $k>1$ ，因为 $a_{k}=2 a_{k-1}$ ，或 $a_{k}=2 a_{k-1}-36$ ，所以 $2 a_{k-1}$ 是 3 的倍数；于是 $a_{k-1}$是 3 的倍数；

类似可得，$a_{k-2}, \ldots, a_{1}$ 都是 3 的倍数；
从而对任意 $n \geqslant 1, a_{n}$ 是 3 的倍数；
综上，若集合 $M$ 存在一个元素是 3 的倍数，则集合 $M$ 的所有元素都是 3 的倍数 （III）对 $a_{1} \leqslant 36, a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}2 a_{n-1}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n-1}-36, & a_{n>18}\end{array}(n=1,2, \ldots)\right.$, 可归纳证明对任意 $n \geqslant k, a_{n}<36(n=2,3, \ldots)$
因为 $a_{1}$ 是正整数，$a_{2}=\left\{\begin{array}{l}2 a_{1}, a_{1} \leqslant 18 \\ 2 a_{1}-36, a_{1}>18\end{array}\right.$ ，所以 $a_{2}$ 是 2 的倍数。
从而当 $n \geqslant 2$ 时，$a_{n}$ 是 2 的倍数。
如果 $a_{1}$ 是 3 的倍数，由（II）知，对所有正整数 $n, a_{n}$ 是 3 的倍数。
因此当 $n \geqslant 3$ 时，$a_{n} \in\{12,24,36\}$ ，这时 $M$ 的元素个数不超过 5 ．
如果 $a_{1}$ 不是 3 的倍数，由（II）知，对所有正整数 $n, a_{n}$ 不是 3 的倍数。
因此当 $\mathrm{n} \geqslant 3$ 时， $\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \in\{4,8,16,20,28,32\}$ ，这时 M 的元素个数不超过 8 ．
当 $a_{1}=1$ 时，$M=\{1,2,4,8,16,20,28,32\}$ ，有 8 个元素．
综上可知，集合 M 的元素个数的最大值为 8 ．
【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．