某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的…——2025 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
60

【解析】先证明一个结论：如果平面 $\alpha \perp$ 平面γ，平面 $\beta \perp$ 平面γ，平面 $\alpha \cap \beta = l$ ，则 ${ \it l \perp \gamma }$
证明：设 $\alpha \cap \gamma = a , \beta \cap \gamma = b$ ，在平面γ取一点O,O∉a,O∉b，
在平面γ内过O作直线m，使得 $m \perp a$ ，作直线n，使得 $n \perp b$
因为平面 $\alpha \perp$ 平面 $\gamma , m \subset \gamma$ ,故 $m \perp \alpha$ ，而 $l \subset \alpha$ ,故 $m \perp l$
同理 $n \perp l , \overrightarrow { \mathbb { m } } m \cap n = O , m , n \subset \gamma$ ,故 ${ \it l } \perp \gamma$

下面回归问题.

连接BE,因为 $A B \bot B C$ 且 $A F / / B C$ ,故 $A F \bot A B$ ,同理 $B C \bot C D , E F \bot E D$

而 $A B = B C = 8 , A F = C D = 4$ ，故直角梯形 $A B E F$ 与直角梯形CBED全等，

故 $\angle B E F = \angle B E D = 4 5 ^ { \circ }$

在直角梯形 $A B E F$ 中，过B作 $B T \perp E F$ ，垂足为T，

则四边形ABTF为矩形，且 $\triangle B T E$ 为以 $\angle B T E$ 为直角的等腰直角三角形，

$$ E F = F T + T E = A B + B T = A B + A F = 1 2 $$

平面 $R A F \perp$ 平面 $A B E F$ ,平面 $R A F \cap$ 平面 $A B E F = A F , A F \bot A B .$

$A B \subset$ 平面 $A B E F$ ,故 $A B \perp$ 平面 $R A F$

取AF的中点为M，BE的中点为 $U , C D$ 的中点为V，连接 $R M , M U , S U , U V$ 则 $M U / / R S$ ，同理可证 $R M \perp$ 平面ABEF，而 $R M \subset$ 平面 RMUS,故平面 $R M U S \perp$ 平面ABEF，同理平面 $V U S \perp$ 平面 $A B E F$

而平面RMUS∩平面 $V U S = S U$ ,故 $S U \perp$ 平面 $A B E F$

故 $R M / / \ S U$ ,故四边形 $R M U S$ 为平行四边形，故 $M U = R S = \frac { 1 } { 2 } \left( 8 + 1 2 \right) = 1 0 .$

在平面 ABHR 中过 B作 $B H / / A R$ ,交RH于H,连接HT.

则四边形ABHR为平行四边形，且 $R H / / A B , R H { = } A B$ ,故 $R H / / F T , R H { = } F T$

故四边形RFTH为平行四边形，

而 $B H \bot A B , B T \bot A B , B T \cap B H = B , B T , B H \subset$ 平面 $B H T$

故 $A B \perp$ 平面 BHT，故平面 $A R F / /$ 平面BHT,

而 $A R = B H , R F = H T , A F = B T$ ,故 $\triangle A R F \cong \triangle B H T$

故几何体 $A R F - B H T$ 为直棱柱，

而 $S _ { \triangle A R F } { = } \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times \sqrt { \left( \frac { 5 } { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 } = 3$ ,故 $V _ { A R F - B H T } = 8 \times 3 = 2 4$

因为 $A B / / E F$ ,故 $E F \perp$ 平面ARF，

而 $E F \subset$ 平面 $R S E F$ ，故平面 $A R F \bot$ 平面 $R S E F$

在平面 $A R F$ 中过A作 $A G \bot R F$ ，垂足为G，同理可证 $_ { A G \perp }$ 平面 $R S E F$

而 ${ \frac { 1 } { 2 } } A G \times R F { = } 3$ ,故 $A G = \frac { 1 2 } { 5 }$ ,故 $V _ { B - H T E S } = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 2 } { 5 } \times \frac { 1 } { 2 } \left( 2 + 4 \right) \times \frac { 5 } { 2 } = 6$

由对称性可得几何体的体积为 $2 \times ( 2 4 + 6 ) = 6 0$

故答案为：60.