（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假…——2009 高考数学第 17 题答案解析

（I）记“在第 $i$ 个路口遇到红灯”为事件 $R_i$，“在第 $i$ 个路口未遇到红灯”为事件 $\bar{R}_i$。
由题意知，各路口是否遇到红灯相互独立，且 $P(R_i) = \frac{1}{3}$，$P(\bar{R}_i) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

“到第三个路口时首次遇到红灯”意味着前两个路口均未遇到红灯，且第三个路口遇到了红灯。
故所求概率为：
$$ P = P(\bar{R}_1) P(\bar{R}_2) P(R_3) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27} $$

（II）每次遇到红灯停留 2 min，若总停留时间至多 4 min，则遇到红灯的次数 $k$ 必须满足 $2k \le 4$，即 $k \le 2$。
因为总共经过 4 个路口，所以遇到红灯的次数 $k$ 可能为 0, 1, 2。
设遇到 $k$ 次红灯的概率为 $P_k$，这是一个 $n=4, p=\frac{1}{3}$ 的二项分布模型，即 $P_k = C_4^k (\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{4-k}$。

当 $k=0$ 时：
$$ P_0 = C_4^0 \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81} $$

当 $k=1$ 时：
$$ P_1 = C_4^1 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81} $$

当 $k=2$ 时：
$$ P_2 = C_4^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} $$

故总停留时间至多 4 min 的概率为：
$$ P = P_0 + P_1 + P_2 = \frac{16}{81} + \frac{32}{81} + \frac{24}{81} = \frac{72}{81} = \frac{8}{9} $$