2025_新课标 II 卷
11. 双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 左右焦点为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，左右顶点为 $A _ { 1 }$ ， $A _ { 2 }$ .以 $F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且 $\angle N A _ { 1 } M = \frac { 5 \pi } { 6 }$ ，则（）
ACD
【答案】ACD
【解答】
由对称性不妨取斜率为正的渐近线 $l _ { _ { M N } } : y = \frac { b } { a } x$
又 $M O = r = c$ ，则易知M(a,b)，又 $A _ { 1 } ( - a , 0 )$ A2(a,0),
则 $M A _ { 2 } \perp A _ { 1 } A _ { 2 }$ ，如图
$\angle A _ { 1 } M A _ { 2 } = \pi - \angle N A _ { 1 } M = { \frac { \pi } { 6 } }$ ，A选项正确；
则在 $R t \triangle A _ { 1 } M A _ { 2 } \triangleleft , \vert M A _ { 1 } \vert = \sqrt { 3 } \left. M A _ { 2 } \right.$ ，B选项错误，
$$ \because \tan \angle A _ { 1 } M A _ { 2 } = \frac { 2 a } { b } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , $$
则 $e = { \frac { c } { a } } = { \sqrt { 1 + { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } = { \sqrt { 1 3 } }$ ，C选项正确；
当 $a = { \sqrt { 2 } }$ 时， $S _ { \mathit { N } { d } _ { 1 } { M } _ { 2 } } = 2 \times \frac { 1 } { 2 } { \left| \mathit { M } { A } _ { 1 } \right| } \cdot \left| \mathit { M } { A } _ { 2 } \right| = 2 a b = 8 \sqrt { 3 }$ ，D选项正确.