计数原理与概率统计　·　历年高考数学真题与解析

14．一个箱子里有5个球，分别以1～5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数 $X$ ，则 $E(X)=$ $\_\_\_\_$．

11．在 $\left(\frac{3}{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\right)^{6}$ 的展开式中，常数项为 $\_\_\_\_$ ．

9．有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值，$x_{6}$ 是最大值，则（ ）

11．$\left(\sqrt{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{5}$ 的展开式中的常数项为 $\_\_\_\_$ ．

13．$\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

11．$\left(x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{4}$ 展开式中常数项为 $\_\_\_\_$。

10．已知 $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}, a , b \in A$ ，则 $|a|<|b|$ 的情况有 $\_\_\_\_$种

14．$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{6}$ 的展开式中常数项是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

3．如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{12}$ ．设 $1 \leq i<j<k \leq 12$ ．若 $k-j=3$ 且 $j- i=4$ ，则称 $a_{i}, a_{j}, a_{k}$ 为原位大三和弦；若 $k-j=4$ 且 $j-$
$i=3$ ，则称 $a_{i}, a_{j}, a_{k}$ 为原位小三和弦．用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）

8．$\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（ ）

13．在二项式 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中，常数项是 $\_\_\_\_$ ；系数为有理数的项的个数是 $\_\_\_\_$ ．

3．设 $x \in R$ ，则＂ $0<x<5$＂是＂$|x-1|<1$＂的

4．$\left(1+2 x^{2}\right)(1+x)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为

5．（5分）$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为

9．设 $a \in R$ ，若 $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{9}$ 与 $\left(x+\frac{a}{x^{2}}\right)^{9}$ 的二项展开式中的常数项相等，则 $a=$ $\_\_\_\_$

4．（5分）$(x+y)(2 x-y)^{5}$ 的展开式中的 $x^{3} y^{3}$ 系数为（ ）

6．（5分）$\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)(1+x) 6$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为（ ）

10．（5 分）在 $(1-2 x)^{6}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 60 ．（用数字作答）

14．（5分）$(2 x+\sqrt{x})^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ 10 ．（用数字填写答案）

2．设 $i$ 为虚数单位，则 $(x+i)^{6}$ 的展开式中含 $x^{4}$ 的项为

8．在 $\left(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256 ，则常数项等于 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ －

9．在 $\left(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256 ，则常数项等于 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

10．（5分）$\left(x^{2}+x+y\right)^{5}$ 的展开式中，$x^{5} y^{2}$ 的系数为（ ）

11．在 $(2 x-1)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

11．$(x+2)^{5}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数等于 $\_\_\_\_$ ．（用数字作答）

（11）$\left(x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{7}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是—。。（用数字填写答案）

15．（5分）$(a+x)(1+x)^{4}$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的系数之和为 32 ，则 $a=$ 3 ．

4．重庆市2013年各月的平均气温（ ${ }^{\circ}$ C）数据的茎叶图如下

则这组数据中的中位数是

4．二项式 $(x+1)^{n}\left(n \in N_{+}\right)$的展开式中 $x^{2}$ 的系数为 15 ，则 $n=$

9．（5 分）在 $(2+x)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 40 （用数字作答）

13．（5分）$(x+a)^{10}$ 的展开式中，$x^{7}$ 的系数为 15 ，则 $a=-\frac{1}{2}$ —。

2．若二项式 $\left(2 x+\frac{a}{x}\right)^{7}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数是 84，则实数 $a=$

8．设集合 $A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \mid x_{i} \in\{-1,0,1\}, i=1,2,3,4,5\right\}$ ，那么集合 $A$ 中满足条件＂ $1 \leq\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|x_{4}\right|+\left|x_{5}\right| \leq 3$＂的元素个数为

11．二项式 $(x+y)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2} y^{3}$ 的项的系数是 $\_\_\_\_$．（用数字作答）

5．设常数 $a \in R$ ，若 $\left(x^{2}+\frac{a}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中 $x^{7}$ 项的系数为 -10 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

7．（5分）$(1+x)^{3}(1+y)^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数是（ ）

（7）使得 $\left(3 x+\frac{1}{x \sqrt{x}}\right)^{n}\left(n \in N_{+}\right)$的展开式中含有常数项的最小的 $n$ 为

13．（5分）$\left(x+\frac{1}{2 x}\right)^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 7。

15．（5分）若 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{n}$ 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 56 ．

（4）$(1-3 x)^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为

6．（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字

的三位数．其中奇数的个数为

12．（5分）（2011•北京）用数字 2 ， 3 组成四位数，且数字 2 ， 3 至少都出现一次，这样的四位数共有 $\_\_\_\_$ 14个．（用数字作答）

14．（3分）（2011 • 山东）若 $\left(x-\frac{\sqrt{a}}{x^{2}}\right)$ 式的常数项为 60 ，则常数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$

16．（ 5 分）（ $2011 \cdot$ 湖南）对于 $n \in N^{+}$，将 $n$
表示 $n=a_{0} \times 2^{k}+a_{1} \times 2^{k-1}+a_{2} \times 2^{k-2}+\ldots+a_{k-1} \times 2^{1}+a_{k} \times 2^{0}$ ，当 $i=0$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $1 \leq i \leq k$ 时，$a_{1}$ 为 0 或 1 ．记 $I ~(n)$ 为上述表示中 $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}$ 为 0 的个数（例如： $1=1 \times 2^{0}, 4=1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+0 \times 2^{0}$ ，故 $I ~(1)=0$ ，I（4 $)=2$ ），则
①$I(12)=$ $\_\_\_\_$ ；②$\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=$ $\_\_\_\_$ ．

5．在 $\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的二项展开式中，$x^{2}$ 的系数为

3．$(1-x)^{10}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

6．（5分）（2009•陕西）若（1－2x）${ }^{2009}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{2009} x^{2009} ~(x \in R)$ ，则
$\frac{\mathrm{a}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{a}_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{a}_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为（ ）

6．（5分）（2009•陕西）若 $(1-2 x)^{2009}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{2009} x^{2009} ~(x \in R)$ ，则
$\frac{\mathrm{a}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{a}_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{a}_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为

15．已知 $\left(1+x+x^{2}\right)\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)^{n}$ 的展开式中没有常数项，$n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $2 \leqslant n \leqslant 8$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

（16）用 $1,2,3,4,5,6$ 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。