2020 上海卷 数学

集合 $A=\{1,3\}, B=\{1,2, a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

不等式 $\frac{1}{x}>3$ 的解集为 $\_\_\_\_$

函数 $y=\tan 2 x$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$

已知复数 $z$ 满足 $z+2 \bar{z}=6+\mathrm{i}$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$

已知 $3 \sin 2 x=2 \sin x, x \in(0, \pi)$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$

若函数 $y=a \cdot 3^{x}+\frac{1}{3^{x}}$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$

已知直线 $l_1: x + ay = 1$，$l_2: ax + y = 1$，若 $l_1 \parallel l_2$，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为

已知二项式 $(2x + x\sqrt{x})^5$，则展开式中 $x^3$ 的系数为

三角形 $A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 中点，$A B=2, B C=3, A C=4$ ，则 $A \vec{D} \cdot \vec{A} B$ $\_\_\_\_$

已知 $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}, a , b \in A$ ，则 $|a|<|b|$ 的情况有 $\_\_\_\_$种

已知 $A_1$、$A_2$、$A_3$、$A_4$、$A_5$ 五个点，满足 $\overrightarrow{A_n A_{n+1}} \cdot \overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}} = 0$（$n = 1,2,3$），$|\overrightarrow{A_n A_{n+1}}| \cdot |\overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}}| = n + 1$（$n = 1,2,3$），则 $|\overrightarrow{A_1 A_5}|$ 的最小值为

已知 $f ( x ) = { \sqrt { x - 1 } }$ ，其反函数为 $\left. \vert f ^ { - 1 } ( x ) \right.$ ，若 $f ^ { - 1 } \left( x \right) - a = f \left( x + a \right)$ 有实数根，则a的取值范围为

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

＂$\alpha=\beta$＂是＂ $\sin { }^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1$＂的

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，作垂直于 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , B$ 两点，作垂直于 $y$ 轴的垂线交椭圆于 $C , D$ 两点，且 $A B=C D$ ，两垂线相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是

数列 $\{a_n\}$ 各项均为实数，对任意 $n \in \mathbb{N}^*$ 满足 $a_{n+3} = a_n$，且行列式 $\begin{vmatrix} a_n & a_{n+1} \\ a_{n+2} & a_{n+3} \end{vmatrix} = c$ 为定值，则下列选项中不可能的是（　　）

已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．

已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．

有一条长为 120 米的步行道 $OA$，$A$ 是垃圾投放点 $\omega_1$，若以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系，设点 $B(x,0)$，现要建设另一座垃圾投放点 $\omega_2(t,0)$，函数 $f_t(x)$ 表示与 $B$ 点距离最近的垃圾投放点的距离.
（1）若 $t = 60$，求 $f_{60}(10)$、$f_{60}(80)$、$f_{60}(95)$ 的值，并写出 $f_{60}(x)$ 的函数解析式；
（2）若可以通过 $f_t(x)$ 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.
问：垃圾投放点 $\omega_2$ 建在何处才能比建在中点时更加便利？

已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

已知非空集合 $A \subseteq \mathbf{R}$ ，函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $t \in A$ 且 $x \in D$ ，不等式 $f(x) \leq f(x+t)$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 具有 $A$ 性质．
①当 $A=\{-1\}$ ，判断 $f(x)=-x , g(x)=2 x$ 是否具有 $A$ 性质；
②当 $A=(0,1), f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in[a,+\infty)$ ，若 $f(x)$ 具有 $A$ 性质，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $A=\{-2, m\}, ~ m \in \mathbf{Z}$ ，若 $D$ 为整数集且具有 $A$ 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 $m$ 的值．