2018 新课标 III 卷 数学

（5分）已知集合 $\cdot \mathsf { A } = \left\{ \mathbf { \boldsymbol { x } } \mid \mathbf { \boldsymbol { x } } - \mathbf { \boldsymbol { 1 } } { \geq } 0 \right\}$ $\mathsf { B } = \{ 0 , \ 1 , \ 2 \}$ ，则A∩B=（　　）

（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　）

（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可

以是（ ）

A

B

C

D

（5分）若 $\sin a = \frac { 1 } { 3 }$ ，则 $\cos 2 a =$ （ ） A $\frac { 8 } { 9 }$ B $\frac { 7 } { 9 }$ C $- \frac { 7 } { 9 }$ D $- \frac { 8 } { 9 }$

（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用 非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）

（5分）函数f $\mathbf { \Pi } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Pi } = \frac { \tan \mathbf { x } } { 1 + \tan ^ { 2 } \mathbf { x } }$ 的最小正周期为（A $\frac { \pi } { 4 }$ B $\frac { \pi } { 2 }$ C．π D．2π

（5分）下列函数中，其图象与函数 $\cdot y = 1 n \times$ 的图象关于直线x=1对称的是（）A $\mathsf { y } { = } \mathsf { l n } \left( \mathsf { 1 } - \mathsf { x } \right)$ B． $\forall \mathop { = } | \mathfrak { n } \_ ( 2 - \mathop { \times } )$ C $\scriptstyle \forall = \ln \ ( 1 + \mathsf { x } )$ D ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { l n } } \ { \textrm { ( } } 2 { + } { \mathsf { x } } )$

（5分）函数 $y = - x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 2$ 的图象大致为（　　）

A

B

C

D

（5分）已知双曲线C： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathsf { b } ^ { 2 } } \mathbf { = } 1 ( \mathsf { a } > 0 , \mathsf { b } > 0 )$ 的离心率为 ${ \sqrt { 2 } } ,$ ，则点（4 ，0）到C的渐近线的距离为（　　） A． $\sqrt { 2 }$ B．2 C $\frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 }$ D $2 \sqrt { 2 }$

（5分） $\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\triangle A B C$ 的面积为$\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 4 }$ ，则C=（　　）A $\frac { \pi } { 2 }$ B $\frac { \pi } { 3 }$ C $\frac { \pi } { 4 }$ D $\frac { \pi } { 6 }$

（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点， $\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $| 9 \sqrt { 3 } ,$ ，则三棱锥 $\mathsf { D } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } \mathsf { A B C }$ 体积的最大值为（　　）A $1 2 \sqrt { 3 }$ B $1 8 \sqrt { 3 }$ C $2 4 \sqrt { 3 }$ D $5 4 \sqrt { 3 }$

（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异

．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样

（5分）若变量x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { x } + \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 \geqslant 0 , } \\ { \mathbf { x } - 2 \leqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z { = } { \bf x } { + } \frac { 1 } { 3 } y$ 的最大值是　3

（12分）等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_5=4a_3$．
（1）求$\{a_n\}$的通项公式；
（2）记$S_n$为$\{a_n\}$的前$n$项和．若$S_m=63$，求$m$．

（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

<table><tr><td>第一种生产方式</td><td></td><td></td><td colspan="2">第二种生产方式</td></tr><tr><td></td><td></td><td>8</td><td>6 5 5 6 8 9</td></tr><tr><td>9</td><td>7 6 2</td><td>7 0</td><td>1 2 2 3 4 5 6 6 8</td></tr><tr><td>9 8 7 7 6 5</td><td>4 3 3</td><td>2 8</td><td>1 4 4 5</td></tr><tr><td></td><td>2 1 0</td><td>0 9</td><td>0</td></tr></table>

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>超过m</td><td rowspan=1 colspan=1>不超过m</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>第一种生产方式</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>第二种生产方式</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr></table>

（3）根据②中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $k ^ { 2 } = \frac { n \left( \mathsf { a d - b c } \right) ^ { 2 } } { \left( \mathsf { a + b } \right) \left( \mathsf { c + d } \right) \left( \mathsf { a + c } \right) \left( \mathsf { b + d } \right) } ,$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>P（K²≥k）</td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 $\widehat { \subset \mathbb { D } }$ 所在平面垂直，M是 $\widehat { C D }$ 上异于C，D的点

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由