2018 新课标 I 卷 数学

（5分）设 $z { = } \frac { 1 { - } \mathbf { i } } { 1 { + } \mathbf { i } } { + } 2 \mathbf { i }$ ，则 $\left| z \right| =$ （ ）A．0 B $\frac { 1 } { 2 }$ C．1 D $\sqrt { 2 }$

（5分）已知集合 $\mathbf { \delta A } { = } \left\{ { \mathbf { x } } \mid { \mathbf { x } } ^ { 2 } { \mathrm { ~ - ~ } } { \mathbf { x } } { \mathrm { ~ - ~ } } 2 { \mathbf { > } } 0 \right\}$ ，则 $C _ { \mathsf { R } } { \mathsf { A } } = \mathrm { ~ ( ~ ~ { ~ \gamma ~ } ~ ) ~ }$ A $\{ { \pmb { \times } } | - 1 { < } { \pmb { \times } } { < } 2 \}$ } B $\{ { \pmb { \times } } \vert - 1 { \leq } { \pmb { \times } } { \leq } 2 \}$ C $\{ \mathsf { x } | \mathsf { x } < - 1 \} \cup \{ \mathsf { x } | \mathsf { x } > 2 \}$ D $\{ \times | \times \leq - 1 \} \cup \{ \times | \times { \geq } 2 \}$

（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例

建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（　　）

（5分）记 $S _ { \mathfrak { n } }$ 为等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和．若 $3 S _ { 3 } = S _ { 2 } + S _ { 4 } , ~ \mathsf { a } _ { 1 } = 2$ ，则 $\mathtt { a } _ { 5 } =$ （　　）

（5分）设函数f $( \textsf { x } ) = \textsf { x } ^ { 3 } + \mathrm { ~ ( ~ a ~ - ~ 1 ~ ) ~ } \ \mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { a } \mathsf { x }$ ．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）A $y = - 2 x$ B．y=﹣x C $y = 2 x$ D．y=x

（5分）在 $\triangle A B C \sharp$ ，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 $\overrightarrow { E B } =$ ）A $\frac { 3 } { 4 } \overrightarrow { \mathrm { A B } } - \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { \mathrm { A C } }$ B $\frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { \mathrm { A B } } - \frac { 3 } { 4 } \overrightarrow { \mathrm { A C } }$ C $\frac { 3 } { 4 } \overrightarrow { A B } + \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { A C }$ D $\frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { A B } + \frac { 3 } { 4 } \overrightarrow { A C }$

（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）
ABA $2 \sqrt { 1 7 }$ B $2 \sqrt { 5 }$ C．3 D．2

（5分）设抛物线C： $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为 $\frac { 2 } { 3 }$ 的直线与C交于M，N两点，则 $\overrightarrow { \ F / / \bullet } \overrightarrow { \ F / / } =$ （ ）

（5分）已知函数f $\begin{array}{c} \begin{array} { r } { \mathbf { \Sigma } \left( \mathbf { x } \right) \mathbf { \Sigma } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathsf { e } ^ { \mathbf { x } } , } & { \mathsf { x } \leqslant 0 } \\ { { \mathrm { l n x } } , } & { \mathbf { x } > 0 } \end{array} , \mathbf { \Sigma } \mathbf { g } ^ { \mathbf { \Sigma } } \left( \mathbf { x } \right) \mathbf { \Sigma } = \mathbf { f } \mathbf { \Sigma } \left( \mathbf { x } \right) \mathbf { \Sigma } + \mathbf { x } + \mathbf { a } \right.} \end{array} \end{array}$ ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）A $[ \mathbf { \partial } - \mathbf { 1 } , \mathbf { \partial } 0 ) $ B $[ 0 , \ + \infty )$ C $[ \mathbf { \Gamma } - \mathbf { \Gamma } _ { 1 } , \mathbf { \Gamma } + \infty )$ D $[ 1 , \ + \infty )$

（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 ${ \mathsf { I p } } _ { 1 }$ ，p₂，p₃，则（　　）

A ${ \mathsf p } _ { 1 } \mathsf { { = } } { \mathsf p } _ { 2 }$ B ${ \mathsf p } _ { 1 } \mathsf { { = } } { \mathsf p } _ { 3 }$ C ${ \mathsf p } _ { 2 } { = } { \mathsf p } _ { 3 }$ D ${ \mathsf p } _ { 1 } = { \mathsf p } _ { 2 } + { \mathsf p } _ { 3 }$

（5分）已知双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { 3 } - \texttt { y } ^ { 2 } = 1$ ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若 $\triangle { \sf O M N }$ 为直角三角形，则 $\left| \mathsf { M N } \right| =$ （　　）A $\frac { 3 } { 2 }$ B．3 C $2 \sqrt { 3 }$ D．4

（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）A $\frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$ B $\frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { 3 }$ C $\frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 4 }$ D $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

（5分）若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } { - } 2 \mathbf { y } { - } 2 \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } { - } \mathbf { y } { + } 1 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { y } { \leqslant } 0 } \end{array} \right.$ ，则 $2 = 3 x + 2 y$ 的最大值为　6

（5分）记 $S _ { \mathfrak { n } }$ 为数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和．若 $S _ { \mathrm { n } } { = } 2 { \sf a } _ { \mathrm { n } } { + } 1$ ，则 $S _ { 6 } = \_ - 6 3$

（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　16　种．（用数字填写答案）

（12分）在平面四边形ABCD中， $\angle A D C = 9 0 ^ { \circ }$ $\angle A = 4 5 ^ { \circ }$ ，AB=2， ${ \mathsf { B } } { \mathsf { D } } { = } { 5 }$

（1）求 $\cos \angle A D B$

（2）若 ${ \mathsf { D C } } { = } 2 { \sqrt { 2 } } ,$ ，求BC

（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为

折痕把 $\triangle \mathsf { D F C }$ 折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值

（12分）设椭圆C： $\frac { \tt x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

②设O为坐标原点，证明： $\angle O M A = \angle O M B$

（12分）已知函数f $( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \mathbf { x } } - \mathbf { x } + \mathbf { a } \ln \mathbf { x } .$

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点 $\mathbf { \ x } _ { 1 } , \mathbf { \ x } _ { 2 }$ ，证明： $\frac { f ( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 1 } ) - f ( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 2 } ) } { \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 1 } - \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 2 } } < \mathbf { \boldsymbol { a } } - 2$

已知f $\mathbf { \tau } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \lambda } = \left| \mathbf { x } \mathbf { + } \mathbf { 1 } \right| \mathbf { \lambda } - \mathbf { \sigma } \left| \mathbf { a x } - \mathbf { \frac { \lambda } { 1 } } \right|$

（1）当a=1时，求不等式f $( \mathsf { x } ) > 1$ 的解集；

（2）若 $\mathbf { \dot { x } } \in \mathbf { \Theta } ( 0 , \mathbf { \Theta } 1 )$ 时不等式f $( \textsf { x } ) \ > \mathsf { x }$ 成立，求a的取值范围