2018 新课标 I 卷 · 理 数学

（5分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$ ，则 $|z|=$

（5分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2>0\right\}$ ，则 $C_{R} A=$

（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例

建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

（5分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$ ，则 $a_{5}=$（）

（5分）设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$ ．若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x$ ）在点（ 0,0 ）处的切线方程为（ ）

（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，$E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}=$（）

（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）

（5分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$

交于 $M, N$ 两点，则 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=$

（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{x}, x \leqslant 0 \\ \ln x, x>0\end{array}, g(x)=f(x)+x+a\right.$ ．若 $g(x)$ 存在2个零点，则 a 的取值范围是

（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ ，直角边 $A B, A C$ －$\triangle A B C$ 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III的概率分别记为 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$ ，则（ ）

（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点，$F$ 为C的右焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$ ．若 $\triangle O M N$ 为直角三角形，则 $|M N|=$

（5分）已知正方体的棱长为 1 ，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积的最大值为（）

（5分）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y-2 \leqslant 0 \\ x-y+1 \geqslant 0 \\ y \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=3 x+2 y$ 的最大值为 6 ．

（5分）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{n}=2 a_{n}+1$ ，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$ －63 ．

（5分）从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选 ，则不同的选法共有 $\_\_\_\_$ 16种．（用数字填写答案）

（12分）在平面四边形 $A B C D$ 中，$\angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, B D=5$ ．
（1）求 $\cos \angle A D B$ ；

（2）若 $\mathrm{DC}=2 \sqrt{2}$ ，求 BC ．

（12分）设椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 M 的坐标为 $(2,0)$ ．
（1）当 $\mid$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；
②设 $O$ 为坐标原点，证明：$\angle O M A=\angle O M B$ ．

（12分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明：$\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2$ ．