（本小题满分 14 分） 在 A B C 中，已知 A B…——2012 高考数学第 15 题答案解析

（1）由已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}$，根据向量数量积的定义展开：
$$ |\overrightarrow{A B}| |\overrightarrow{A C}| \cos A = 3 |\overrightarrow{B A}| |\overrightarrow{B C}| \cos B $$
设 $\triangle ABC$ 的角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，则 $|\overrightarrow{AB}|=c, |\overrightarrow{AC}|=b, |\overrightarrow{BA}|=c, |\overrightarrow{BC}|=a$。
代入上式得：
$$ cb \cos A = 3 ca \cos B $$
因为 $c \neq 0$，两边同时除以 $c$，得：
$$ b \cos A = 3 a \cos B $$
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$，可得 $b = \frac{a \sin B}{\sin A}$，代入上式：
$$ \frac{a \sin B}{\sin A} \cos A = 3 a \cos B $$
因为 $a \neq 0$，消去 $a$ 并整理得：
$$ \sin B \cos A = 3 \sin A \cos B $$
在 $\triangle ABC$ 中，若 $\cos A = 0$ 或 $\cos B = 0$，则 $A$ 或 $B$ 为直角。若 $A=\frac{\pi}{2}$，则 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$，此时需 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Rightarrow B=\frac{\pi}{2}$，这与三角形内角和矛盾，故 $\cos A \neq 0$ 且 $\cos B \neq 0$。
等式两边同时除以 $\cos A \cos B$，得：
$$ \frac{\sin B}{\cos B} = 3 \frac{\sin A}{\cos A} $$
即 $\tan B = 3 \tan A$。

（2）因为 $\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}$，且 $C \in (0, \pi)$，所以 $\sin C > 0$。
$$ \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$
从而 $\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 2$。
在 $\triangle ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，所以 $C = \pi - (A+B)$。
$$ \tan C = \tan[\pi - (A+B)] = -\tan(A+B) $$
即 $-\tan(A+B) = 2 \Rightarrow \tan(A+B) = -2$。
利用两角和的正切公式：
$$ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -2 $$
将（1）中结论 $\tan B = 3 \tan A$ 代入上式：
$$ \frac{\tan A + 3 \tan A}{1 - \tan A \cdot 3 \tan A} = -2 $$
$$ \frac{4 \tan A}{1 - 3 \tan^2 A} = -2 $$
整理得：
$$ 4 \tan A = -2(1 - 3 \tan^2 A) $$
$$ 2 \tan A = -(1 - 3 \tan^2 A) $$
$$ 3 \tan^2 A - 2 \tan A - 1 = 0 $$
解关于 $\tan A$ 的一元二次方程：
$$ (3 \tan A + 1)(\tan A - 1) = 0 $$
解得 $\tan A = 1$ 或 $\tan A = -\frac{1}{3}$。
由（1）知 $\cos A \neq 0$。若 $\tan A = -\frac{1}{3}$，则 $A$ 为钝角，$\cos A < 0$。
回顾步骤（1）中的推导 $b \cos A = 3 a \cos B$。由于 $a,b > 0$，$\cos A$ 与 $\cos B$ 同号。
若 $\tan A < 0$，则 $A$ 为钝角，$\cos A < 0$，进而 $\cos B < 0$，即 $B$ 也为钝角。
三角形中不可能有两个钝角，故 $\tan A = -\frac{1}{3}$ 舍去。
或者更简单地，由 $\tan B = 3 \tan A$，若 $\tan A < 0$，则 $\tan B < 0$，意味着 $A, B$ 均为钝角，矛盾。
因此 $\tan A > 0$，即 $A$ 为锐角，取 $\tan A = 1$。
因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $A = \frac{\pi}{4}$。