2012 江苏卷 数学

已知集合 $A=\{1,2,4\}, B=\{2,4,6\}$ ，则 $A \cup B=$ $\_\_\_\_$。

某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 $3: 3: 4$ ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 $\_\_\_\_$名学生．

右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 $\_\_\_\_$ ．

函数 $f(x)=\sqrt{1-2 \log _{6} x}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$ A ．

现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是 $\_\_\_\_$ ． ．

（第4题）

如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=A D=3 \mathrm{~cm}, A A_{1}=2 \mathrm{~cm}, D_{1}$则四棱锥 $A-B B_{1} D_{1} D$ 的体积为 $\_\_\_\_$ A $\mathrm{cm}^{3}$ ．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+4}=1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $m$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=\sqrt{2}, B C=2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A F}=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1]$ 上，

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x+1,-1 \leqslant x<0, \\ \frac{b x+2}{x+1}, 0 \leqslant x \leqslant 1,\end{array}\right.$ 其中 $a, b \in \mathbf{R}$ ．若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，
（第9题）
则 $a+3 b$ 的值为

设 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$ ，则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值为

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 C 的方程为 $x^{2}+y^{2}-8 x+15=0$ ，若直线 $y=k x-2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 $k$ 的最大值是

已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+b(a, b \in \mathbf{R})$ 的值域为 $[0,+\infty)$ ，若关于 x 的不等式 $f(x)<c$的解集为 $(m, m+6)$ ，则实数 $c$ 的值为

（本小题满分 14 分）

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}$ ．
（1）求证： $\tan B=3 \tan A$ ；
（2）若 $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 A 的值．

（本小题满分 14 分）
如图，建立平面直角坐标系 $x O y, x$ 轴在地平面上，$y$ 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y=k x-\frac{1}{20}\left(1+k^{2}\right) x^{2}(k>0)$ 表示的曲线上，其中 $k$ 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
②设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 $a$ 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

（本小题满分 16 分）
若函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 取得极大值或者极小值则 $x=x 0$ 是 $y=f(x)$ 的极值点

已知 $a, b$ 是实数， 1 和 -1 是函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$ 的两个极值点．
（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；
②设函数 $g(x)$ 的导函数 $g^{\prime}(x)=f(x)+2$ ，求 $g(x)$ 的极值点；
③设 $h(x)=f(f(x))-c$ ，其中 $c \in[-2,2]$ ，求函数 $y=h(x)$ 的零点个数．

（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $\left(e, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$

与直线 $B F_{2}$ 平行，$A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1}-B F_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证：$P F_{1}+P F_{2}$ 是定值．

已知各项均为正数的两个数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}$，$n\in\mathbf{N}^*$．
（1）设 $b_{n+1}=1+\dfrac{b_n}{a_n}$，$n\in\mathbf{N}^*$，求证：数列 $\left\{\left(\dfrac{b_n}{a_n}\right)^2\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n+1}=\sqrt{2}\cdot\dfrac{b_n}{a_n}$，$n\in\mathbf{N}^*$，且 $\{a_n\}$ 是等比数列，求 $a_1$ 和 $b_1$ 的值．