（I）圆方程化为 $(x+1)^2+y^2=16$，故圆心 $A(-1,0)$，半径 $4$。因为 $|AB|=2<4$，点 $B$ 在圆内，所以 $B$ 在弦 $CD$ 内部。
在 $\triangle ACD$ 中，$AC=AD$。又 $BE\parallel AC$，且 $E$ 在 $AD$ 上，所以 $\triangle DBE\sim\triangle DCA$，于是
$\dfrac{DE}{DA}=\dfrac{BE}{CA}$。
由 $CA=DA=4$，得 $BE=DE$。同时 $E$ 在线段 $AD$ 上，因此
$|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4$。
点 $E$ 到 $A(-1,0)$、$B(1,0)$ 的距离和为定值 $4$，其轨迹是以 $A,B$ 为焦点的椭圆。设 $2a=4$，则 $a=2$；焦距 $2c=|AB|=2$，则 $c=1$，所以
$b^2=a^2-c^2=4-1=3$。
故轨迹方程为
$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$。
由于原直线不与 $x$ 轴重合，点 $E$ 不在 $x$ 轴上，因此 $y\neq0$。
（II）曲线 $C_1$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$。直线 $l$ 过 $B(1,0)$ 且不是 $x$ 轴，可设为
$x=my+1\quad(m\in\mathbb R)$。
代入 $3x^2+4y^2=12$，得
$(3m^2+4)y^2+6my-9=0$。
设 $M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$，则
$y_1+y_2=-\dfrac{6m}{3m^2+4}$，$y_1y_2=-\dfrac{9}{3m^2+4}$。
因此
$|MN|=\sqrt{1+m^2}\,|y_1-y_2|
=\sqrt{1+m^2}\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}
=\dfrac{12(1+m^2)}{3m^2+4}$。
过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线为
$y=-m(x-1)$，即 $mx+y-m=0$。
点 $A(-1,0)$ 到该直线的距离
$d=\dfrac{|{-m}-m|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{2|m|}{\sqrt{m^2+1}}$。
圆半径为 $4$，所以弦长
$|PQ|=2\sqrt{16-d^2}
=2\sqrt{16-\dfrac{4m^2}{1+m^2}}
=\dfrac{4\sqrt{3m^2+4}}{\sqrt{1+m^2}}$。
由于 $MN\perp PQ$，且二者交于 $B$，四边形 $MPNQ$ 的面积等于两条垂直对角线乘积的一半：
$S=\dfrac12|MN||PQ|
=24\sqrt{\dfrac{1+m^2}{3m^2+4}}$。
令 $t=m^2\ge0$，则
$S=24\sqrt{\dfrac{t+1}{3t+4}}$。
函数 $\dfrac{t+1}{3t+4}$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增，最小值为 $\dfrac14$，极限值为 $\dfrac13$。
所以 $S$ 的最小值为 $12$，且不能达到上界 $8\sqrt3$。
故面积取值范围为
$[12,8\sqrt3)$。