斜率不存在未讨论高考易错题

19. 已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个顶点是(2,0)，离心率为 $\textstyle { \frac { 1 } { 2 } }$

(I) 求E的方程;

(II)过点A(1,1)作斜率为k(k≠±1)的直线交E于B,C两点。设D为B关于直线 $y = x$ 的对称点，直线DC交y=x于点Q。若 $| S _ { \Delta i B Q } - S _ { \Delta i C Q } | = \frac { 5 } { 8 }$ ,求k的值.

19. 已知 $E \colon { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，

(1) 求椭圆方程；

②设O为原点， $M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } { \neq } 0 )$ 为椭圆上一点，直线 $x _ { 0 } x + 2 y _ { 0 } y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2 , y = - 2$ 交于A，B. $\triangle { O A M }$ 与△OBM的面积为 $S _ { 1 } , S _ { 2 }$ ,比较 $\frac { S _ { 1 } } { S _ { 2 } } \frac { | O A | } { | O B | }$ 的大小.

6. 抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 焦点F， $A \in C$ ，过A作C准线的垂线，垂足为B.若 $l _ { B F } : y = - 2 x + 2$ ，则|AF|=（）

11. 双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 左右焦点为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，左右顶点为 $A _ { 1 }$ ， $A _ { 2 }$ .以 $F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且 $\angle N A _ { 1 } M = \frac { 5 \pi } { 6 }$ ，则（）

16.（15分）椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，长轴长为4.

（1）求C的方程；

(2）过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点，若 $S _ { \triangle O A B } = \sqrt { 2 }$ ，求 $\left| A B \right|$

18．设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $\left|A_{1} F\right|=3,\left|A_{2} F\right|=1$ ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} F P$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

20. 已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0, -2), B\left(\frac{3}{2}, -1\right)$ 两点.

(1) 求 E 的方程;

②设过点 $P(1, -2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}$ ．证明：直线 $HN$ 过定点.

20．已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点．
（1）求 $E$ 的方程；
②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

16．已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

21．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$ ，渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，点 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在 $C$ 上，且

$x_{1}>x_{2}>0, y_{1}>0$ 。过 $P$ 且斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点 $M$ ．从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①$M$ 在 $A B$ 上；
②$P Q / / A B$ ；
③$|M A|=|M B|$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

21．抛物线$C$的顶点为坐标原点$O$．焦点在$x$轴上，直线$l$：$x=1$交$C$于$P$，$Q$两点，且$OP\perp OQ$．已知点$M(2,0)$，且$\odot M$与$l$相切．
（1）求$C$，$\odot M$的方程；
（2）设$A_1,A_2,A_3$是$C$上的三个点，直线$A_1A_2$，$A_1A_3$均与$\odot M$相切．判断直线$A_2A_3$与$\odot M$的位置关系，并说明理由．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ．
（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；

（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

5．直线 $x=-2$ 与直线 $\sqrt{3} x-y+1=0$ 的夹角为 $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{6}$。
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

18.

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $|B F|=\sqrt{5}$.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ ，过 $N$ 与 $B F$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$ ．若 $M P / / B F$ ，求直线 $l$ 的方程．

20．已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

19．已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $M$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $|M F|=5$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

8．点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 距离的最大值为（ ）

19．（12分）设椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 M 的坐标为 $(2,0)$ ．
（1）当 $\mid$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；
②设 $O$ 为坐标原点，证明：$\angle O M A=\angle O M B$ ．

15．（5分）直线 $y=x+1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+2 y-3=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{2}$ ．

20．（12分）设 $A$ ，$B$ 为曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 上两点，$A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 4 ．
（1）求直线 AB 的斜率；
②设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点，$C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，且 $A M \perp B M$ ，求直线 $A B$ 的方程．

20．（12分）设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 ，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{N P}=\sqrt{2} \overrightarrow{N M}$ ．
（1）求点 p 的轨迹方程；
②设点 Q 在直线 $\mathrm{x}=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=1$ ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F ．

20．（12分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 上，过 M 作 x 轴的垂线 ，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{N P}=\sqrt{2} \overrightarrow{N M}$ ．
（1）求点 p 的轨迹方程；
②设点 Q 在直线 $\mathrm{x}=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=1$ ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 $l$ 过 C的左焦点 F ．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．

20．（12分）设圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， I 交圆 A 于 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
（I）证明 $|E A|+|E B|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；
（II）设点 E 的轨迹为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ ，直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，过 B 且与 I 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P, Q$ 两点，求四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围．

18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>$ 0 ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 F 到左准线 1 的距离为 3 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F 的直线与椭圆交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 AB 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{C}$ ，若 $\mathrm{PC}=2 \mathrm{AB}$ ，求直线 AB 的方程．

14．如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．
（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于 $M, N$ 两点，下列三个结论：
①$\frac{|N A|}{|N B|}=\frac{|M A|}{|M B|}$ ；
②$\frac{|N B|}{|N A|}-\frac{|M A|}{|M B|}=2$ ；
③$\frac{|N B|}{|N A|}+\frac{|M A|}{|M B|}=2 \sqrt{2}$ 。

其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．（写出所有正确结论的序号）

20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；

（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。

21．（本小题满分 14 分）
一种作图工具如图1所示．$O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处较链与 $O N$连接，$M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N=O N=1, M N=3$ 。当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（ $D$ 不动时，$N$ 也不动），$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$ 。以 $O$ 为原点， $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
（I）求曲线 $C$ 的方程；
（II）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1}: x-2 y=0$ 和 $l_{2}: x+2 y=0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle O Q P$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第21题图1

第21题图1

第 $21 \stackrel{y}{\text { 题图 } 2}$

第21题图2

18、（本小题满分 12 分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（I）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系．并说明你的结论．
（III）证明：直线 $D F \perp$ 平面 $B E G$

19．（本小题满分 12 分）
已知点 $F$ 为抛物线 $E: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，点 $A(2, m)$ 在抛物线 $E$ 上，且 $|A F|=3$ ．
（I）求抛物线 $E$ 的方程；
（ II ）已知点 $G(-1,0)$ ，延长 $A F$ 交抛物线 $E$ 于点 $B$ ，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $G A$ 相切的圆，必与直线 $G B$ 相切．

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $l: y=k x+a(a>0)$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）当 $\mathrm{k}=\mathrm{O}$ 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．
（II） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 $\angle O P M=\angle O P N$ ？（说明理由）

20．（12分）已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+(y-3) { }^{2}=1$ 交于点 $M , N$ 两点。
（1）求 $k$ 的取值范围；
（2）若 $\overrightarrow{\mathrm{OM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}=12$ ，其中 O 为坐标原点，求 $|\mathrm{MN}|$ ．

10．已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 的准线上，过点 $A$ 的直线与 $C$ 在第一象限相切于点 $B$ ，记 $C$ 的焦点为 $F$ ，则直线 $B F$ 的斜率为（ ）

20．（本小题满分 13 分）如图 5，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\left(a_{1}>0, b_{1}>0\right)$ 和椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a_{2}{ }^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{2}{ }^{2}}=1\left(a_{2}>b_{2}>0\right)$ 均过点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形。
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ？证明你的结论．

－图 5

21．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right| ,|A B| ,\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。

10．（5分）已知陏圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A , B$ 两点．若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$ ，则 $E$ 的方程为

20．（12分）已知圆M：$(x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，圆 $N$ ：$(x-1)^{2}+y^{2}=9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ．
（ I ）求 C 的方程；
（II） I 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， I 与曲线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，当圆 P 的半径最长时，求 $|\mathrm{AB}|$ ．

19．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $\left(e, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$

与直线 $B F_{2}$ 平行，$A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1}-B F_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证：$P F_{1}+P F_{2}$ 是定值．