2022_全国乙卷 (2022·理)
4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\left\{b_{n}\right\}: b_{1}=1+\frac{1}{\alpha_{1}}, \quad b_{2}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}$ ，
$b_{3}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}}, \cdots$ ，依此类推，其中 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k=1,2, \cdots)$ 。则
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】D
【解析】
【分析】根据 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k=1,2, \ldots)$ ，再利用数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 与 $\alpha_{k}$ 的关系判断 $\left\{b_{n}\right\}$ 中各项的大小，即可求解．
**方法一**：常规解法
因为 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k=1,2, \cdots)$ ，
所以 $\alpha_{1}<\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}, \frac{1}{\alpha_{1}}>\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}$ ，得到 $b_{1}>b_{2}$ ，
同理 $\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}>\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}$ ，可得 $b_{2}<b_{3}, b_{1}>b_{3}$
又因为 $\frac{1}{\alpha_{2}}>\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}+\frac{1}{\alpha_{4}}}}, \alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}<\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}+\frac{1}{\alpha_{4}}}}$ ，
故 $b_{2}<b_{4}, b_{3}>b_{4}$ ；
以此类推，可得 $b_{1}>b_{3}>b_{5}>b_{7}>\ldots, b_{7}>b_{8}$ ，故 A 错误；
$b_{1}>b_{7}>b_{8}$ ，故 B 错误；
$\frac{1}{\alpha_{2}}>\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}+\ldots \frac{1}{\alpha_{6}}}}$ ，得 $b_{2}<b_{6}$ ，故 C 错误；
$\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}+\frac{1}{\alpha_{4}}}}>\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\ldots \frac{1}{\alpha_{6}+\frac{1}{\alpha_{7}}}}$ ，得 $b_{4}<b_{7}$ ，故 D 正确．
**方法二**：特值法
不妨设 $a_{n}=1$ ，则 $\mathrm{b}_{1}=2, \mathrm{~b}_{2}=\frac{3}{2}, \mathrm{~b}_{3}=\frac{5}{3}, \mathrm{~b}_{4}=\frac{8}{5}, \mathrm{~b}_{5}=\frac{13}{8}, \mathrm{~b}_{6}=\frac{21}{13}, \mathrm{~b}_{7}=\frac{34}{21}, \mathrm{~b}_{8}=\frac{55}{34}$ ， $b_{4}<b_{7}$ 故 D 正确．