已知抛物线 y^ 2 =4 5 x, F_ 1 , F_…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得出 $c$ 的值，求出点 A 的坐标，分析可得 $\left|A F_{1}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，由此可得出关于 $a , b , c$ 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程．

【详解】抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{5} x$ 的准线方程为 $x=-\sqrt{5}$ ，则 $c=\sqrt{5}$ ，则 $F_{1}(-\sqrt{5}, 0) , F_{2}(\sqrt{5}, 0)$ ，
不妨设点 A 为第二象限内的点，联立 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{b}{a} x \\ x=-c\end{array}\right.$ ，可得 $\left\{\begin{array}{l}x=-c \\ y=\frac{b c}{a}\end{array}\right.$ ，即点 $A\left(-c, \frac{b c}{a}\right)$ ，
因为 $A F_{1} \perp F_{1} F_{2}$ 且 $\angle F_{1} F_{2} A=\frac{\pi}{4}$ ，则 $\triangle F_{1} F_{2} A$ 为等腰直角三角形，
且 $\left|A F_{1}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，即 $\frac{b c}{a}=2 c$ ，可得 $\frac{b}{a}=2$ ，
所以，$\left\{\begin{array}{l}\frac{b}{a}=2 \\ c=\sqrt{5} \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=2 \\ c=\sqrt{5}\end{array}\right.$ ，因此，双曲线的标准方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
故选：C．