2024_新课标 I 卷 (2024)
12．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $\boldsymbol{C}$ 于 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$两点，若 $\left|F_{1} A\right|=13,|A B|=10$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的离心率为
【答案】 $\frac{3}{2}$
## 【解析】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 $\left|A F_{2}\right|$ ，结合双曲线第一定义求出 $\left|A F_{1}\right|$ ，即可得到 $a, b, c$ 的值，从而求出离心率．
【详解】由题可知 $A, B, F_{2}$ 三点横坐标相等，设 A 在第一象限，将 $x=c$ 代入 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
得 $y= \pm \frac{b^{2}}{a}$ ，即 $A\left(c, \frac{b^{2}}{a}\right), B\left(c,-\frac{b^{2}}{a}\right)$ ，故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a}=10,\left|A F_{2}\right|=\frac{b^{2}}{a}=5$ ，
又 $\left|A F_{1}\right|-\left|A F_{2}\right|=2 a$ ，得 $\left|A F_{1}\right|=\left|A F_{2}\right|+2 a=2 a+5=13$ ，解得 $a=4$ ，代入 $\frac{b^{2}}{a}=5$ 得 $b^{2}=20$ ，
故 $c^{2}=a^{2}+b^{2}=36$ ，即 $c=6$ ，所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ ．
故答案为：$\frac{3}{2}$