2021_新课标 I 卷 (2021)
21．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1}(-\sqrt{17}, 0) , F_{2}(\sqrt{17}, 0)\left|M F_{1}\right|-\left|M F_{2}\right|=2$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设点 $T$ 在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $\mathrm{A} , B$ 两点和 $P, Q$ 两点，且 $|T A| \cdot|T B|=|T P| \cdot|T Q|$ ，求直线 $A B$ 的斜率与直线 $P Q$ 的斜率之和．
【答案】①$x^{2}-\frac{y^{2}}{16}=1(x \geq 1)$ ；（2） 0 ．
## 【解析】
【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹 $C$ 是以点 $F_{1} , F_{2}$ 为左、右焦点双曲线的右支，求出 $a , b$ 的值 ，即可得出轨迹 $C$ 的方程；
②设点 $T\left(\frac{1}{2}, t\right)$ ，设直线 $A B$ 的方程为 $y-t=k_{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，设点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right) , B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，联立直线 $A B$与曲线 $C$ 的方程，列出韦达定理，求出 $|T A| \cdot|T B|$ 的表达式，设直线 $P Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，同理可得出 $|T P| \cdot|T Q|$ 的表达式，由 $|T A| \cdot|T B|=|T P| \cdot|T Q|$ 化简可得 $k_{1}+k_{2}$ 的值．
【详解】因为 $\left|M F_{1}\right|-\left|M F_{2}\right|=2<\left|F_{1} F_{2}\right|=2 \sqrt{17}$ ，
所以，轨迹 $C$ 是以点 $F_{1} , F_{2}$ 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，则 $2 a=2$ ，可得 $a=1, b=\sqrt{17-a^{2}}=4$ ，
所以，轨迹 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{16}=1(x \geq 1)$ ；
②设点 $T\left(\frac{1}{2}, t\right)$ ，若过点 $T$ 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 $C$ 无公共点，
不妨直线 $A B$ 的方程为 $y-t=k_{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $y=k_{1} x+t-\frac{1}{2} k_{1}$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{1} x+t-\frac{1}{2} k_{1} \\ 16 x^{2}-y^{2}=16\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 并整理可得 $\left(k_{1}^{2}-16\right) x^{2}+k_{1}\left(2 t-k_{1}\right) x+\left(t-\frac{1}{2} k_{1}\right)^{2}+16=0$ ，
设点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right) , B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $x_{1}>\frac{1}{2}$ 且 $x_{2}>\frac{1}{2}$ ．
由韦达定理可得 $x_{1}+x_{2}=\frac{k_{1}^{2}-2 k_{1} t}{k_{1}^{2}-16}, x_{1} x_{2}=\frac{\left(t-\frac{1}{2} k_{1}\right)^{2}+16}{k_{1}^{2}-16}$ ，
所以，$|T A| \cdot|T B|=\left(1+k_{1}^{2}\right) \cdot\left|x_{1}-\frac{1}{2}\right| \cdot\left|x_{2}-\frac{1}{2}\right|=\left(1+k_{1}^{2}\right) \cdot\left(x_{1} x_{2}-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{\left(t^{2}+12\right)\left(1+k_{1}^{2}\right)}{k_{1}^{2}-16}$ ，
设直线 $P Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，同理可得 $|T P| \cdot|T Q|=\frac{\left(t^{2}+12\right)\left(1+k_{2}^{2}\right)}{k_{2}^{2}-16}$ ，
因为 $|T A| \cdot|T B|=|T P| \cdot|T Q|$ ，即 $\frac{\left(t^{2}+12\right)\left(1+k_{1}^{2}\right)}{k_{1}^{2}-16}=\frac{\left(t^{2}+12\right)\left(1+k_{2}^{2}\right)}{k_{2}^{2}-16}$ ，整理可得 $k_{1}^{2}=k_{2}^{2}$ ，
即 $\left(k_{1}-k_{2}\right)\left(k_{1}+k_{2}\right)=0$ ，显然 $k_{1}-k_{2} \neq 0$ ，故 $k_{1}+k_{2}=0$ ．
因此，直线 $A B$ 与直线 $P Q$ 的斜率之和为 0 ．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。