已知双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =…——2022 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$

## 【解析】

【分析】联立直线 $A B$ 和渐近线 $l_{2}: y=\frac{b}{a} x$ 方程，可求出点 $B$ ，再根据 $|F B|=3|F A|$ 可求得点 A ，最后

根据点 A 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线 $A B: y=\frac{b}{4 a}(x+c)$ ，渐近线 $l_{2}: y=\frac{b}{a} x$ ，

联立 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{b}{4 a}(x+c) \\ y=\frac{b}{a} x\end{array}\right.$ ，得 $B\left(\frac{c}{3}, \frac{b c}{3 a}\right)$ ，由 $|F B|=3|F A|$ ，得 $A\left(-\frac{5 c}{9}, \frac{b c}{9 a}\right)$ ，
而点 A 在双曲线上，于是 $\frac{25 c^{2}}{81 a^{2}}-\frac{b^{2} c^{2}}{81 a^{2} b^{2}}=1$ ，解得：$\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{81}{24}$ ，所以离心率 $\mathrm{e}=\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ ．
故答案为：$\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ ．