2022_浙江卷 (2022)
16．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，交双曲线的渐近线于点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 且 $x_{1}<0<x_{2}$ ．若 $|F B|=3|F A|$ ，则双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$。
$\frac{3 \sqrt{6}}{4}$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$
【解析】
【分析】联立直线 $A B$ 和渐近线 $l_{2}: y=\frac{b}{a} x$ 方程，可求出点 $B$ ，再根据 $|F B|=3|F A|$ 可求得点 A ，最后
根据点 A 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线 $A B: y=\frac{b}{4 a}(x+c)$ ，渐近线 $l_{2}: y=\frac{b}{a} x$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{b}{4 a}(x+c) \\ y=\frac{b}{a} x\end{array}\right.$ ，得 $B\left(\frac{c}{3}, \frac{b c}{3 a}\right)$ ，由 $|F B|=3|F A|$ ，得 $A\left(-\frac{5 c}{9}, \frac{b c}{9 a}\right)$ ，
而点 A 在双曲线上，于是 $\frac{25 c^{2}}{81 a^{2}}-\frac{b^{2} c^{2}}{81 a^{2} b^{2}}=1$ ，解得：$\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{81}{24}$ ，所以离心率 $\mathrm{e}=\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ ．
故答案为：$\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ ．
按本题考点（双曲线）一句话出一份真题练习卷或讲义，先看题目再生成 PDF，打印出来做。