（5分）已知 F 是双曲线 C : x ^ 2 - y ^…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的定义，确定 $\triangle \mathrm{APF}$ 周长最小时， P 的坐标，即可求出 $\triangle \mathrm{APF}$周长最小时，该三角形的面积．

【解答】解：由题意，设 $F^{\prime}$ 是左焦点，则 $\triangle A P F$ 周长 $=|A F|+|A P|+|P F|=|A F|+\mid A P |+|$ PF $^{\prime} \mid+2$
$\geq|A F|+\left|A F^{\prime}\right|+2$（A，P，$F^{\prime}$ 三点共线时，取等号），

直线 $A F^{\prime}$ 的方程为 $\frac{x}{-3}+\frac{y}{6 \sqrt{6}}=1$ 与 $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$ 联立可得 $y^{2}+6 \sqrt{6} y-96=0$ ，
$\therefore \mathrm{P}$ 的纵坐标为 $2 \sqrt{6}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{APF}$ 周长最小时，该三角形的面积为 $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \sqrt{6}-\frac{1}{2} \times 6 \times 2 \sqrt{6}=12 \sqrt{6}$ ．
故答案为： $12 \sqrt{6}$ ．
【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定 P 的坐标是关键