2015_退役省自主命题 (2015·理)
16．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2 a_{n}-a_{1}$，且 $a_{1}, a_{2}+1, a_{3}$ 成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $T_{n}$，求得 $\left|T_{n}-1\right|<\frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值．
【答案】①$a_{n}=2^{n}$；（2） 10．
【解析】①由已知 $S_{n}=2 a_{n}-a_{1}$，有 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2 a_{n}-2 a_{n-1}(n>1)$，即 $a_{n}=2 a_{n-1}(n>1)$．
从而 $a_{2}=2 a_{1}, a_{3}=4 a_{1}$．
又因为 $a_{1}, a_{2}+1, a_{3}$ 成等差数列，即 $a_{1}+a_{3}=2\left(a_{2}+1\right)$．
所以 $a_{1}+4 a_{1}=2\left(2 a_{1}+1\right)$，解得 $a_{1}=2$。
所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。
故 $a_{n}=2^{n}$．
②由①得 $\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2^{n}}$．
所以 $T_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=\frac{\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}}$．
由 $\left|T_{n}-1\right|<\frac{1}{1000}$，得 $\left|1-\frac{1}{2^{n}}-1\right|<\frac{1}{1000}$，即 $2^{n}>1000$．
因为 $2^{9}=512<1000<1024=2^{10}$，
所以 $n \geq 10$．
于是，使 $\left|T_{n}-1\right|<\frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值为 10．
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力．
【名师点睛】凡是有 $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 间的关系，都是考虑消去 $S_{n}$ 或 $a_{n}$（多数时候是消去 $S_{n}$，得 $a_{n}$ 与 $a_{n-1}$ 间的递推关系）。在本题中，得到 $a_{n}$ 与 $a_{n-1}$ 间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解．等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分．