21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$
（1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出使得 $S_{n+1}>S_{n}$ 成立的最小正整数 $n$ ．
（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分…——2010 高考数学第 21 题答案解析
2010_上海卷 (2010·文)
完整解析 · 逐步详解
解析：（1）当 $n=1$ 时，$a_{1}=-14$ ；当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=-5 a_{n}+5 a_{n-1}+1$ ，所以 $a_{n}-1=\frac{5}{6}\left(a_{n-1}-1\right)$ ，又 $a_{1}-1=-15 \neq 0$ ，所以数列 $\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
②
由（1）知：$a_{n}-1=-15 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}$ ，得 $a_{n}=1-15 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}$ ，从而 $S_{n}=75 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}+n-90\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right.$
由 $S_{n+1}>S_{n}$ ，得 $\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}<\frac{2}{5}, n>\log _{\frac{5}{6}} \frac{2}{25}+1 \approx 14.9$ ，最小正整数 $n=15$ ．
✅ 来源：2010年 · ?? · 2010_上海卷 (2010·文) · 第 21 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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