2010 ??高考数学 2010_上海卷 (2010·文) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$
（1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出使得 $S_{n+1}>S_{n}$ 成立的最小正整数 $n$ ．

Accepted Answer

解析：（1）当 $n=1$ 时，$a_{1}=-14$ ；当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=-5 a_{n}+5 a_{n-1}+1$ ，所以 $a_{n}-1=\frac{5}{6}\left(a_{n-1}-1ight)$ ，又 $a_{1}-1=-15 
eq 0$ ，所以数列 $\left\{a_{n}-1ight\}$ 是等比数列； ② 由（1）知：$a_{n}-1=-15 \cdot\left(\frac{5}{6}ight)^{n-1}$ ，得 $a_{n}=1-15 \cdot\left(\frac{5}{6}ight)^{n-1}$ ，从而 $S_{n}=75 \cdot\left(\frac{5}{6}ight)^{n-1}+n-90\left(n \in \mathbf{N}^{*}ight.$ 由 $S_{n+1}>S_{n}$ ，得 $\left(\frac{5}{6}ight)^{n-1} \log _{\frac{5}{6}} \frac{2}{25}+1 \approx 14.9$ ，最小正整数 $n=15$ ．

2010 高考数学第 21 题答案解析

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