（12分）已知 x_ n 是各项均为正数的等比数列，且 x…——2017 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（12分）（2017 • 山东）已知 $\left\{x_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $x_{1}+x_{2}=3$ ， $x_{3}-x_{2}=2$.
（I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 $\mathrm{P}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}, 1\right), \mathrm{P}_{2}\left(\mathrm{x}_{2}, 2\right) \ldots P_{n+1}\left(x_{n+1}, n+1\right)$ 得到折线 $P_{1}$
$P_{2} \ldots P_{n+1}$ ，求由该折线与直线 $y=0, x=x_{1}, x=x_{n+1}$ 所围成的区域的面积 $T_{n}$ ．

【解答】解：（I）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，则 $q>0$ ，
由题意得 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{1} q=3 \\ x_{1} q^{2}-x_{1} q=2\end{array}\right.$ ，
两式相比得：$\frac{1+q}{q^{2}-q}=\frac{3}{2}$ ，解得 $q=2$ 或 $q=-\frac{1}{3}$（舍），
$\therefore \mathrm{x}_{1}=1$ ，
$\therefore \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}-1}$ 。
（II）过 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}_{3}, \ldots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}}$ 向 x 轴作垂线，垂足为 $\mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2}, \mathrm{Q}_{3}, \ldots, \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}$ ，
即梯形 $P_{n} P_{n+1} Q_{n+1} Q_{n}$ 的面积为 $b_{n}$ ，
则 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}+\mathrm{n}+1}{2} \times 2^{\mathrm{n}-1}=(2 \mathrm{n}+1) \times 2^{\mathrm{n}-2}$ ，
$\therefore \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=3 \times 2^{-1}+5 \times 2^{0}+7 \times 2^{1}+\ldots+(2 \mathrm{n}+1) \times 2^{\mathrm{n}-2}$ ，①
$\therefore 2 \mathrm{~T}_{\mathrm{n}}=3 \times 2^{0}+5 \times 2^{1}+7 \times 2^{2}+\ldots+(2 \mathrm{n}+1) \times 2^{\mathrm{n}-1}$ ，②
①－②得：$-T_{n}=\frac{3}{2}+\left(2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}\right)-(2 n+1) \times 2^{n-1}$
$=\frac{3}{2}+\frac{2\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(2 n+1) \times 2^{n-1}=-\frac{1}{2}+(1-2 n) \times 2^{n-1}$ ．
$\therefore \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\frac{(2 \mathrm{n}-1) \times 2^{\mathrm{n}}+1}{2}$ ．