已知椭圆 x^ 2 9 + y^ 2 5 =1 的左焦点为…——2019 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $\sqrt{15}$

## 【解析】

【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解．利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁．

【详解】方法 1：由题意可知 $|O F|=|O M|=c=2$ ，

由中位线定理可得 $\left|P F_{1}\right|=2|O M|=4$ ，设 $P(x, y)$ 可得 $(x-2)^{2}+y^{2}=16$ ，

联立方程 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$
可解得 $x=-\frac{3}{2}, x=\frac{21}{2}$（舍），点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，

求得 $P\left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ ，所以 $k_{P F}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{15}$

## 方法 2：焦半径公式应用

解析 1：由题意可知 $|O F|=|O M|=c=2$ ，
由中位线定理可得 $\left|P F_{1}\right|=2|O M|=4$ ，即 $a-e x_{p}=4 \Rightarrow x_{p}=-\frac{3}{2}$
求得 $P\left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ ，所以 $k_{P F}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{15}$ ．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径．