设 F_ 1 , F_ 2 为椭圆 C: x^ 2 36…——2019 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $(3, \sqrt{15})$

【解析】

【分析】
根据椭圆的定义分别求出 $\left|M F_{1}\right| ,\left|M F_{2}\right|$ ，设出 $M$ 的坐标，结合三角形面积可求出 $M$ 的坐标。
【详解】由已知可得 $a^{2}=36, b^{2}=36, \therefore c^{2}=a^{2}-b^{2}=16, \therefore c=4$ ，
$\therefore\left|M F_{1}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c=8$ ．
$\because\left|M F_{1}\right|+\left|M F_{2}\right|=2 a=12,\left|M F_{2}\right|=4$.
设点 $M$ 的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0\right)$ ，则 $S_{\triangle M F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2} \cdot\left|F_{1} F_{2}\right| \cdot y_{0}=4 y_{0}$ ，
又 $S_{\triangle M F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{8^{2}-2^{2}}=4 \sqrt{15}, \therefore 4 y_{0}=4 \sqrt{15}$ ，解得 $y_{0}=\sqrt{15}$ ，
$\therefore \frac{x_{0}^{2}}{36}+\frac{(\sqrt{15})^{2}}{20}=1$ ，解得 $x_{0}=3$（ $x_{0}=-3$ 舍去），
$\backslash M$ 的坐标为 $(3, \sqrt{15})$ ．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养。