如图，在三棱锥 P-A B C 中， A B B C, A…——2023 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
②$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

## 【解析】

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 $O D E F$ 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答．
（2）作出并证明 $P M$ 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积．

## 【小问 1 详解】

连接 $D E, O F$ ，设 $A F=t A C$ ，则 $\overrightarrow{B F}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A F}=(1-t) \overrightarrow{B A}+t \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A O}=-\overrightarrow{B A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}, B F \perp A O$ ，
则 $\overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{A O}=[(1-t) \overrightarrow{B A}+t \overrightarrow{B C}] \cdot\left(-\overrightarrow{B A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)=(t-1) \overrightarrow{B A}^{2}+\frac{1}{2} t \overrightarrow{B C^{2}}=4(t-1)+4 t=0$ ，
解得 $t=\frac{1}{2}$ ，则 $F$ 为 $A C$ 的中点，由 $D, E, O, F$ 分别为 $P B, P A, B C, A C$ 的中点，
于是 $D E / / A B, D E=\frac{1}{2} A B, O F / / A B, O F=\frac{1}{2} A B$ ，即 $D E / / O F, D E=O F$ ，
则四边形 $O D E F$ 为平行四边形，
$E F / / D O, E F=D O$ ，又 $E F \not \subset$ 平面 $A D O, D O \subset$ 平面 $A D O$ ，
所以 $E F / /$ 平面 $A D O$ ．

## 【小问 2 详解】

过 $P$ 作 $P M$ 垂直 $F O$ 的延长线交于点 $M$ ，
因为 $P B=P C, O$ 是 $B C$ 中点，所以 $P O \perp B C$ ，
在 Rt $\triangle P B O$ 中，$P B=\sqrt{6}, B O=\frac{1}{2} B C=\sqrt{2}$ ，
所以 $P O=\sqrt{P B^{2}-O B^{2}}=\sqrt{6-2}=2$ ，
因为 $A B \perp B C, O F / / A B$ ，

所以 $O F \perp B C$ ，又 $P O \cap O F=O, P O, O F \subset$ 平面 $P O F$ ，
所以 $B C \perp$ 平面 $P O F$ ，又 $P M \subset$ 平面 $P O F$ ，
所以 $B C \perp P M$ ，又 $B C \cap F M=O, B C, F M \subset$ 平面 $A B C$ ，
所以 $P M \perp$ 平面 $A B C$ ，
即三棱锥 $P-A B C$ 的高为 $P M$ ，
因为 $\angle P O F=120^{\circ}$ ，所以 $\angle P O M=60^{\circ}$ ，
所以 $P M=P O \sin 60^{\circ}=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ ，
又 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot B C=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}$ ，
所以 $V_{P-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot P M=\frac{1}{3} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ．