立体几何综合　·　历年高考数学真题与解析

17．三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_{1}=2, A_{1} C_{1}=1, M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点．  （1）求证：$A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ； （2）求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值； （3）求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

19．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, B P, A P, B C$ 的中点分别为 $D, E, O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，$B F \perp A O$ ．  （1）求证：$E F / /$ 平面 $A D O$ ； （2）若 $\angle P O F=120^{\circ}$ ，求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．

18．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 1.  （1）求证：$A C=A_{1} C$ ； （2）若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

8．（4分）已知四棱锥 $S-A B C D$ 的底面是正方形，侧棱长均相等，$E$ 是线段 $A B$上的点（不含端点）。设 $S E$ 与 $B C$ 所成的角为 $\theta_{1}$ ，$S E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\theta_{2}$ ，二面角 $\mathrm{S}-\mathrm{AB}-\mathrm{C}$ 的平面角为 $\theta_{3}$ ，则（）