立体几何综合　·　历年高考数学真题与解析

12．下列物体中，能够被整体放入棱长为 1 （单位： m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

19.

已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形，$A B=B C=2, E, F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点 ,$B F \perp A_{1} B_{1}$ ．

（1）求三棱锥 $F-E B C$ 的体积；
（2）已知 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，证明：$B F \perp D E$ ．

14．（5分）$\alpha, \beta$ 是两个平面，$m, n$ 是两条直线，有下列四个命题：
①如果 $m \perp n, m \perp \alpha, n \| \beta$ ，那么 $\alpha \perp \beta$ 。
②如果 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{n} \| \alpha$, 那么 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}$ 。
③如果 $\alpha \| \beta, ~ m \subset \alpha, ~$ 那么 $m \| \beta$ 。
④如果 $\mathrm{m}\|\mathrm{n}, ~ \alpha\| \beta$ ，那么 m 与 $\alpha$ 所成的角和 n 与 $\beta$ 所成的角相等。
其中正确的命题是②③④（填序号）

20．（本题满分 12 分）
如图，$A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 $\mathrm{PO}=\mathrm{OB}=1$ ．
（I）若 $D$ 为线段 $A C$ 的中点，求证 $\mathrm{AC} \mathrm{\perp}$ 平面 PDO ；
（II）求三棱锥 $P-A B C$ 体积的最大值；
（III）若 $B C=\sqrt{2}$ ，点 $E$ 在线段 $P B$ 上，求 $C E+O E$ 的最小值．

18．（12分）如图，四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E}$为 PD 的中点．
（I）证明： $\mathrm{PB} \|$ 平面 AEC ；
（II）设二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{AE}-\mathrm{C}$ 为 $60^{\circ}, \mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ACD}$ 的体积。

19．（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1} \perp B C, A_{1} B \perp B B_{1}$ ．
（1）求证：$A_{1} C_{1} \perp C C_{1}$ ；
（2）若 $A B=2, A C=\sqrt{3}, B C=\sqrt{7}$ ，问 $A A_{1}$ 为何值时，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积最大，并求此最大值。

19、（本小题满分 12 分）

如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}=2$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$是线段 $A D$ 上异于端点的点。
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$，求三棱锥

$A_{1}-Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）

16．如图，在三棱锥 $O-A B C$ 中，三条棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且 $O A>O B>O C$ ，分别经过三条棱 $O A, O B, O C$ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 的大小关系为 $\_\_\_\_$。