在三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，…——2023 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
②$\frac{\sqrt{13}}{13}$

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得 $A_{1} O \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，再由勾股定理求出 $O$为中点，即可得证；
（2）利用直角三角形求出 $A B_{1}$ 的长及点 A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值．

【小问 1 详解】

如图，

$\because A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, B C \subset$ 面 $A B C$,
$\therefore A_{1} C \perp B C$ ，又 $B C \perp A C, A_{1} C, A C \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}, A_{1} C \cap A C=C$ ，
$\therefore B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，又 $B C \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，
∴ 平面 $A C C_{1} A_{1} \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，

过 $A_{1}$ 作 $A_{1} O \perp C C_{1}$ 交 $C C_{1}$ 于 $O$ ，又平面 $A C C_{1} A_{1} \cap$ 平面 $B C C_{1} B_{1}=C C_{1}, A_{1} O \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，
$\therefore A_{1} O \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$
$\because A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $1, \therefore A_{1} O=1$ ，

在Rt $\triangle A_{1} C C_{1}$ 中，$A_{1} C \perp A_{1} C_{1}, C C_{1}=A A_{1}=2$ ，

设 $C O=x$ ，则 $C_{1} O=2-x$ ，
$\because \triangle A_{1} O C, \triangle A_{1} O C_{1}, \triangle A_{1} C C_{1}$ 为直角三角形，且 $C C_{1}=2$ ，
$C O^{2}+A_{1} O^{2}=A_{1} C^{2}, \quad A_{1} O^{2}+O C_{1}^{2}=C_{1} A_{1}^{2}, \quad A_{1} C^{2}+A_{1} C_{1}^{2}=C_{1} C^{2}$,
$\therefore 1+x^{2}+1+(2-x)^{2}=4$ ，解得 $x=1$ ，
$\therefore A C=A_{1} C=A_{1} C_{1}=\sqrt{2}$ ，

$\therefore A C=A_{1} C$

【小问 2 详解】

$\because A C=A_{1} C_{1}, B C \perp A_{1} C, B C \perp A C$ ，
$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A C B \cong \mathrm{Rt} \triangle A_{1} C B$
$\therefore B A=B A_{1}$,

过 $B$ 作 $B D \perp A A_{1}$ ，交 $A A_{1}$ 于 $D$ ，则 $D$ 为 $A A_{1}$ 中点，

由直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，所以 $B D=2$
$\because A_{1} D=1, \quad B D=2, \quad \therefore A_{1} B=A B=\sqrt{5}$ ，

在 Rt $\triangle A B C, \therefore B C=\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}=\sqrt{3}$ ，

延长 $A C$ ，使 $A C=C M$ ，连接 $C_{1} M$ ，

由 $C M / / A_{1} C_{1}, C M=A_{1} C_{1}$ 知四边形 $A_{1} C M C_{1}$ 为平行四边形，
$\therefore C_{1} M / / A_{1} C, \therefore C_{1} M \perp$ 平面 $A B C$ ，又 $A M \subset$ 平面 $A B C$ ，
$\therefore C_{1} M \perp A M$

则在 Rt $\triangle A C_{1} M$ 中，$A M=2 A C, C_{1} M=A_{1} C, \therefore A C_{1}=\sqrt{(2 A C)^{2}+A_{1} C^{2}}$ ，
在 Rt $\triangle A B_{1} C_{1}$ 中，$A C_{1}=\sqrt{(2 A C)^{2}+A_{1} C^{2}}, B_{1} C_{1}=B C=\sqrt{3}$ ，
$\therefore A B_{1}=\sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{13}$ ，
又 A 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 距离也为 1 ，

所以 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$ ．