三棱台 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，若…——2023 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
（2）$\frac{2}{3}$
（3）$\frac{4}{3}$

## 【解析】

【分析】（1）先证明四边形 $M N A_{1} C_{1}$ 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【小问 1 详解】

连接 $M N, C_{1} A$ ．由 $M, N$ 分别是 $B C, B A$ 的中点，根据中位线性质，$M N / / A C$ ，且 $M N=\frac{A C}{2}=1$ ，由棱台性质，$A_{1} C_{1} / / A C$ ，于是 $M N / / A_{1} C_{1}$ ，由 $M N=A_{1} C_{1}=1$ 可知，四边形 $M N A_{1} C_{1}$ 是平行四边形，则 $A_{1} N / / M C_{1}$ ，

又 $A_{1} N \not \subset$ 平面 $C_{1} M A, M C_{1} \subset$ 平面 $C_{1} M A$ ，于是 $A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ．

## 【小问 2 详解】

过 $M$ 作 $M E \perp A C$ ，垂足为 $E$ ，过 $E$ 作 $E F \perp A C_{1}$ ，垂足为 $F$ ，连接 $M F, C_{1} E$ ．

由 $M E \subset$ 面 $A B C, A_{1} A \perp$ 面 $A B C$ ，故 $A A_{1} \perp M E$ ，又 $M E \perp A C, A C \cap A A_{1}=A, A C, A A_{1} \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则 $M E \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

由 $A C_{1} \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，故 $M E \perp A C_{1}$ ，又 $E F \perp A C_{1}, M E \cap E F=E, M E, E F \subset$ 平面 $M E F$ ，于是 $A C_{1} \perp$ 平面 $M E F$ ，

由 $M F \subset$ 平面 $M E F$ ，故 $A C_{1} \perp M F$ ．于是平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角即 $\angle M F E$ ．

又 $M E=\frac{A B}{2}=1, \cos \angle C A C_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ ，则 $\sin \angle C A C_{1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ，故 $E F=1 \times \sin \angle C A C_{1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ，在
Rt $\triangle M E F$ 中，$\angle M E F=90^{\circ}$ ，则 $M F=\sqrt{1+\frac{4}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ ，

于是 $\cos \angle M F E=\frac{E F}{M F}=\frac{2}{3}$

## 【小问 3 详解】

**方法一**：几何法

过 $C_{1}$ 作 $C_{1} P \perp A C$ ，垂足为 $P$ ，作 $C_{1} Q \perp A M$ ，垂足为 $Q$ ，连接 $P Q, P M$ ，过 $P$ 作 $P R \perp C_{1} Q$ ，垂足为 R．

由题干数据可得，$C_{1} A=C_{1} C=\sqrt{5}, C_{1} M=\sqrt{C_{1} P^{2}+P M^{2}}=\sqrt{5}$ ，根据勾股定理，
$C_{1} Q=\sqrt{5-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$,
由 $C_{1} P \perp$ 平面 $A M C, A M \subset$ 平面 $A M C$ ，则 $C_{1} P \perp A M$ ，又 $C_{1} Q \perp A M, C_{1} Q \cap C_{1} P=C_{1}$ ，

$C_{1} Q, C_{1} P \subset$ 平面 $C_{1} P Q$ ，于是 $A M \perp$ 平面 $C_{1} P Q$ ．
又 $P R \subset$ 平面 $C_{1} P Q$ ，则 $P R \perp A M$ ，又 $P R \perp C_{1} Q, C_{1} Q \cap A M=Q, C_{1} Q, A M \subset$ 平面 $C_{1} M A$ ，故 $P R \perp$ 平面 $C_{1} M A$ ．

在 $\mathrm{Rt} \triangle C_{1} P Q$ 中，$P R=\frac{P C_{1} \cdot P Q}{Q C_{1}}=\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 \sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{3}$ ，
又 $C A=2 P A$ ，故点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离是 $P$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离的两倍，
即点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离是 $\frac{4}{3}$ ．
**方法二**：等体积法

辅助线同方法一。
设点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离为 $h$ ．
$V_{C_{1}-A M C}=\frac{1}{3} \times C_{1} P \times S_{\triangle A M C}=\frac{1}{3} \times 2 \times \frac{1}{2} \times(\sqrt{2})^{2}=\frac{2}{3}$ ，
$V_{C-C_{1} M A}=\frac{1}{3} \times h \times S_{\triangle A M C_{1}}=\frac{1}{3} \times h \times \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2}=\frac{h}{2}$ ．
由 $V_{C_{1}-A M C}=V_{C-C_{1} M A} \Leftrightarrow \frac{h}{2}=\frac{2}{3}$ ，即 $h=\frac{4}{3}$ ．