甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2…——2022 高考数学第 9 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】设母线长为 $l$ ，甲圆锥底面半径为 $r_{1}$ ，乙圆锥底面圆半径为 $r_{2}$ ，根据圆锥的侧面积公式可得 $r_{1}=2 r_{2}$ ，再结合圆心角之和可将 $r_{1}, r_{2}$ 分别用 $l$ 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解．

【详解】解：设母线长为 $l$ ，甲圆锥底面半径为 $r_{1}$ ，乙圆锥底面圆半径为 $r_{2}$ ，
则 $\frac{S_{\text {甲 }}}{S_{\text {乙 }}}=\frac{\pi r_{1} l}{\pi r_{2} l}=\frac{r_{1}}{r_{2}}=2$ ，
所以 $r_{1}=2 r_{2}$ ，
又 $\frac{2 \pi r_{1}}{l}+\frac{2 \pi r_{2}}{l}=2 \pi$ ，

则 $\frac{r_{1}+r_{2}}{l}=1$ ，
所以 $r_{1}=\frac{2}{3} l, r_{2}=\frac{1}{3} l$ ，
所以甲圆锥的高 $h_{1}=\sqrt{l^{2}-\frac{4}{9} l^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3} l$ ，
乙圆锥的高 $h_{2}=\sqrt{l^{2}-\frac{1}{9} l^{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} l$ ，
所以 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{\text {乙 }}}=\frac{\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1}}{\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}}=\frac{\frac{4}{9} l^{2} \times \frac{\sqrt{5}}{3} l}{\frac{1}{9} l^{2} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3} l}=\sqrt{10}$ ．
故选：C．