在三棱锥 P-A B C 中，线段 P C 上的点 M 满…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】分别过 $M, C$ 作 $M M^{\prime} \perp P A, C C^{\prime} \perp P A$ ，垂足分别为 $M^{\prime}, C^{\prime}$ 。过 $B$ 作 $B B^{\prime} \perp$ 平面 $P A C$ ，垂足为 $B^{\prime}$ ，连接 $P B^{\prime}$ ，过 $N$ 作 $N N^{\prime} \perp P B^{\prime}$ ，垂足为 $N^{\prime}$ 。先证 $N N^{\prime} \perp$ 平面 $P A C$ ，则可得到 $B B^{\prime} / / N N^{\prime}$ ，再证 $M M^{\prime} / / C C^{\prime}$ ．由三角形相似得到 $\frac{M M^{\prime}}{C C^{\prime}}=\frac{1}{3}, \frac{N N^{\prime}}{B B^{\prime}}=\frac{2}{3}$ ，再由 $\frac{V_{P-A M N}}{V_{P-A B C}}=\frac{V_{N-P A M}}{V_{B-P A C}}$ 即可求出体积比．

【详解】如图，分别过 $M, C$ 作 $M M^{\prime} \perp P A, C C^{\prime} \perp P A$ ，垂足分别为 $M^{\prime}, C^{\prime}$ 。过 $B$ 作 $B B^{\prime} \perp$ 平面 $P A C$ ，垂足为 $B^{\prime}$ ，连接 $P B^{\prime}$ ，过 $N$ 作 $N N^{\prime} \perp P B^{\prime}$ ，垂足为 $N^{\prime}$ ．

因为 $B B^{\prime} \perp$ 平面 $P A C, B B^{\prime} \subset$ 平面 $P B B^{\prime}$ ，所以平面 $P B B^{\prime} \perp$ 平面 $P A C$ ．

又因为平面 $P B B^{\prime} \cap$ 平面 $P A C=P B^{\prime}, \quad N N^{\prime} \perp P B^{\prime}, \quad N N^{\prime} \subset$ 平面 $P B B^{\prime}$ ，所以 $N N^{\prime} \perp$ 平面 $P A C$ ，且 $B B^{\prime} / / N N^{\prime}$ ．

在 $\triangle P C C^{\prime}$ 中，因为 $M M^{\prime} \perp P A, C C^{\prime} \perp P A$ ，所以 $M M^{\prime} / / C C^{\prime}$ ，所以 $\frac{P M}{P C}=\frac{M M^{\prime}}{C C^{\prime}}=\frac{1}{3}$ ，
在 $\triangle P B B^{\prime}$ 中，因为 $B B^{\prime} / / N N^{\prime}$ ，所以 $\frac{P N}{P B}=\frac{N N^{\prime}}{B B^{\prime}}=\frac{2}{3}$ ，
所以 $\frac{V_{P-A M N}}{V_{P-A B C}}=\frac{V_{N-P A M}}{V_{B-P A C}}=\frac{\frac{1}{3} S_{\triangle P A M} \cdot N N^{\prime}}{\frac{1}{3} S_{\triangle P A C} \cdot B B^{\prime}}=\frac{\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{2} P A \cdot M M^{\prime}\right) \cdot N N^{\prime}}{\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{2} P A \cdot C C^{\prime}\right) \cdot B B^{\prime}}=\frac{2}{9}$ ．
故选：B