2021 高考数学第 21 题答案解析

21．（18分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n} \ldots 0$ ，对任意 $n \ldots 2, ~ a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项．
（1）已知 $a_{1}=5, ~ a_{2}=3, ~ a_{4}=2$ ，求 $a_{3}$ 的所有可能取值；
（2）已知 $a_{1}=a_{4}=a_{7}=0, ~ a_{2} , a_{5} , a_{8}$ 为正数，求证：$a_{2} , a_{5} , a_{8}$ 成等比数列，并求出公比 $q$ ；
（3）已知数列中恰有3项为 0 ，即 $a_{r}=a_{s}=a_{t}=0, ~ 2【思路分析】（1）根据 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项建立等式，然后将 $a_{1}, ~ a_{2}, ~ a_{4}$ 的值代入即可；
（2）根据递推关系求出 $a_{5} , a_{8}$ ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
（3）分别求出 $a_{r+1}, ~ a_{s+1}, ~ a_{t+1}$ 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求