（18分）已知数列 a_ n 满足 a_ n 0，对任意…——2021 高考数学第 21 题答案解析

【解析】：（1）由题意， $2 a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$ 或 $2 a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ ，
$\therefore 2 a_{2}=a_{3}+a_{1}$ 解得 $a_{3}=1, ~ 2 a_{3}=a_{2}+a_{1}$ 解得 $a_{3}=4$ ，经检验，$a_{3}=1$ ，
（2）证明：$\because a_{1}=a_{4}=a_{7}=0, ~ \therefore a_{3}=2 a_{2}, ~$ 或 $a_{3}=\frac{a_{2}}{2}$ ，经检验，$a_{3}=\frac{a_{2}}{2}$ ；
$\therefore a_{5}=\frac{a_{3}}{2}=\frac{a_{2}}{4}$ ，或 $a_{5}=-a_{1}=-\frac{a_{2}}{2}$（舍），$\therefore a_{5}=\frac{a_{2}}{4}$ ；
$\therefore a_{6}=\frac{a_{5}}{2}=\frac{a_{2}}{8}$ ，或 $a_{6}=-a_{5}=-\frac{a_{2}}{4}$（舍），$\therefore a_{6}=\frac{a_{2}}{8}$ ；
$\therefore a_{8}=\frac{a_{6}}{2}=\frac{a_{2}}{16}$ ，或 $a_{8}=-a_{6}=-\frac{a_{2}}{8}$（舍），$\therefore a_{8}=\frac{a_{2}}{16}$ ；

综上，$a_{2} , a_{5} , a_{8}$ 成等比数列，公比为 $\frac{1}{4}$ ；
③由 $2 a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$ 或 $2 a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ ，可知 $\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}=1$ 或 $\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}}=-\frac{1}{2}$ ，
由第（2）问可知，$a_{r}=0$ ，则 $a_{r-2}=2 a_{r-1}$ ，即 $a_{r-1}-a_{r-2}=-a_{r-1}$ ，
$\therefore a_{r}=0$ ，则 $a_{r+1}=\frac{1}{2} a_{r-1}=-\frac{1}{2}\left(a_{r-1}-a_{r-2}\right)=-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{i} \cdot 1^{r-3-i} \cdot\left(a_{2}-a_{1}\right)=-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{i}, i \in N^{*}$ ，
$\therefore\left(a_{r+1}\right)_{\text {max }}=\frac{1}{4}$,
同理，$a_{s+1}=-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{j} \cdot 1^{s-2-r-j} \cdot\left(a_{r+1}-a_{r}\right)=-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{j} \cdot \frac{1}{4}, j \in N^{*}$ ，
$\therefore\left(a_{s+1}\right)_{\text {max }}=\frac{1}{16}$ ，同理，$\left(a_{t+1}\right)_{\text {max }}=\frac{1}{64}, ~ \therefore a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1}$ 的最大值 $\frac{21}{64}$ ．
【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题。