（12分）等比数列 a_ n 的各项均为正数，且 2 a_…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）设出等比数列的公比 $q$ ，由 $a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$ ，利用等比数列的通项公式化简后得到关于 $q$ 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 $q$的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 $2 a_{1}+3 a_{2}=1$ ，把求出的 $q$ 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；
（II）把（I）求出数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式代入设 $\mathrm{bn}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，利用对数的运算性质及等差数列的前 $n$ 项和的公式化简后，即可得到 $b_{n}$ 的通项公式，求出倒数即为 $\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}$ 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和。
【解答】解：（I ）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，由 $a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$ 得 $a_{3}{ }^{2}=9 a_{4}{ }^{2}$ ，所以 $q^{2}=\frac{1}{9}$

由条件可知各项均为正数，故 $\mathrm{q}=\frac{1}{3}$ ．
由 $2 a_{1}+3 a_{2}=1$ 得 $2 a_{1}+3 a_{1} q=1$ ，所以 $a_{1}=\frac{1}{3}$ ．
故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项式为 $a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ ．
（II）$b_{n}=\log _{3}^{a_{1+}} \log _{3}^{a_{2+\ldots}} \log _{3}^{a_{n}}=-(1+2+\ldots+n)=-\frac{n(n+1)}{2}$ ，

故 $\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}=-\frac{2}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}=-2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{1}{\mathrm{n}+1}\right)$
则 $\frac{1}{\mathrm{~b}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{~b}_{2}}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}=-2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{1}{\mathrm{n}+1}\right)\right]=-\frac{2 \mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}$ ，
所以数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和为 $-\frac{2 \mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}$ ．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前 n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题。