若 x y ≠ 0，则＂ x+y=0 ＂是＂ y x +…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$ 化简得到 $x+y=0$ 即可判断；解法二：证明充分性可由 $x+y=0$ 得到 $x=-y$ ，代入 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ 化简即可，证明必要性可由 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$ 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 $x+y=0$ 代入即可，证明必要性可由 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 $x+y=0$ 代入，解方程即可．

【详解】解法一：
因为 $x y \neq 0$ ，且 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$ ，
所以 $x^{2}+y^{2}=-2 x y$ ，即 $x^{2}+y^{2}+2 x y=0$ ，即 $(x+y)^{2}=0$ ，所以 $x+y=0$ ．
所以＂$x+y=0$＂是＂$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$＂的充要条件．
解法二：
充分性：因为 $x y \neq 0$ ，且 $x+y=0$ ，所以 $x=-y$ ，
所以 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{-y}{y}+\frac{y}{-y}=-1-1=-2$ ，
所以充分性成立；
必要性：因为 $x y \neq 0$ ，且 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$ ，
所以 $x^{2}+y^{2}=-2 x y$ ，即 $x^{2}+y^{2}+2 x y=0$ ，即 $(x+y)^{2}=0$ ，所以 $x+y=0$ ．
所以必要性成立．

所以＂$x+y=0$＂是＂$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$＂的充要条件．
解法三：
充分性：因为 $x y \neq 0$ ，且 $x+y=0$ ，

所以 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{x^{2}+y^{2}+2 x y-2 x y}{x y}=\frac{(x+y)^{2}-2 x y}{x y}=\frac{-2 x y}{x y}=-2$ ，
所以充分性成立；
必要性：因为 $x y \neq 0$ ，且 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$ ，
所以 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{x^{2}+y^{2}+2 x y-2 x y}{x y}=\frac{(x+y)^{2}-2 x y}{x y}=\frac{(x+y)^{2}}{x y}-2=-2$ ，
所以 $\frac{(x+y)^{2}}{x y}=0$ ，所以 $(x+y)^{2}=0$ ，所以 $x+y=0$ ，
所以必要性成立．
所以＂$x+y=0$＂是＂$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$＂的充要条件．
故选：C