【答案】①$\Omega(A): 3,4,4,5,8,4,3,10$
（2）不存在符合条件的 $\Omega$ ，理由见解析
（3）证明见解析
## 【解析】
【分析】（1）直接按照 $\Omega(A)$ 的定义写出 $\Omega(A)$ 即可；
（2）利用反证法，假设存在符合条件的 $\Omega$ ，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；
（3）分充分性和必要性两方面论证．
## 【小问 1 详解】
由题意得 $\Omega(A): 3,4,4,5,8,4,3,10$ ；
## 【小问 2 详解】
假设存在符合条件的 $\Omega$ ，可知 $\Omega(A)$ 的第 1,2 项之和为 $a_{1}+a_{2}+s$ ，第 3,4 项之和为 $a_{3}+a_{4}+s$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\left(a_{1}+2\right)+\left(a_{2}+6\right)=a_{1}+a_{2}+s \\ \left(a_{3}+4\right)+\left(a_{4}+2\right)=a_{3}+a_{4}+s\end{array}\right.$ ，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件的 $\Omega$ ；
## 【小问 3 详解】
我们设序列 $T_{k} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ 为 $\left\{a_{k, n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，特别规定 $a_{0, n}=a_{n}(1 \leq n \leq 8)$ ．
必要性：
若存在序列 $\Omega$ ：$\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数列．
则 $a_{s, 1}=a_{s, 2}=a_{s, 3}=a_{s, 4}=a_{s, 5}=a_{s, 6}=a_{s, 7}=a_{s, 8}$ ，所以 $a_{s, 1}+a_{s, 2}=a_{s, 3}+a_{s, 4}=a_{s, 5}+a_{s, 6}=a_{s, 7}+a_{s, 8}$ ．
根据 $T_{k} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ 的定义，显然有 $a_{k, 2 j-1}+a_{k, 2 j}=a_{k-1,2 j-1}+a_{k-1,2 j}$ ，这里 $j=1,2,3,4, k=1,2, \ldots$ ．
所以不断使用该式就得到，$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$ ，必要性得证．
充分性：
若 $a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$ ．
由已知，$a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，而 $a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$ ，所以
$a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}=4\left(a_{1}+a_{2}\right)-\left(a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}\right)$ 也是偶数．
我们设 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ 是通过合法的序列 $\Omega$ 的变换能得到的所有可能的数列 $\Omega(A)$ 中，使得 $\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 最小的一个．
上面已经证明 $a_{k, 2 j-1}+a_{k, 2 j}=a_{k-1,2 j-1}+a_{k-1,2 j}$ ，这里 $j=1,2,3,4, k=1,2, \ldots$ ．
从而由 $a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$ 可得 $a_{s, 1}+a_{s, 2}=a_{s, 3}+a_{s, 4}=a_{s, 5}+a_{s, 6}=a_{s, 7}+a_{s, 8}$ ．
同时，由于 $i_{k}+j_{k}+s_{k}+t_{k}$ 总是偶数，所以 $a_{k, 1}+a_{k, 3}+a_{k, 5}+a_{k, 7}$ 和 $a_{k, 2}+a_{k, 4}+a_{k, 6}+a_{k, 8}$ 的奇偶性保持不
变，从而 $a_{s, 1}+a_{s, 3}+a_{s, 5}+a_{s, 7}$ 和 $a_{s, 2}+a_{s, 4}+a_{s, 6}+a_{s, 8}$ 都是偶数。
下面证明不存在 $j=1,2,3,4$ 使得 $\left|a_{s, 2 j-1}-a_{s, 2 j}\right| \geq 2$ ．
假设存在，根据对称性，不妨设 $j=1, a_{s, 2 j-1}-a_{s, 2 j} \geq 2$ ，即 $a_{s, 1}-a_{s, 2} \geq 2$ ．
情况 1：若 $\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|=0$ ，则由 $a_{s, 1}+a_{s, 3}+a_{s, 5}+a_{s, 7}$ 和 $a_{s, 2}+a_{s, 4}+a_{s, 6}+a_{s, 8}$ 都是偶数，知 $a_{s, 1}-a_{s, 2} \geq 4$ ．
对该数列连续作四次变换 $(2,3,5,8),(2,4,6,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7)$ 后，新的
$\left|a_{s+4,1}-a_{s+4,2}\right|+\left|a_{s+4,3}-a_{s+4,4}\right|+\left|a_{s+4,5}-a_{s+4,6}\right|+\left|a_{s+4,7}-a_{s+4,8}\right|$ 相比原来的
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 减少 4 ，这与
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 的最小性矛盾；
情况 2：若 $\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|>0$ ，不妨设 $\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|>0$ 。
情况 2－1：如果 $a_{s, 3}-a_{s, 4} \geq 1$ ，则对该数列连续作两次变换 $(2,4,5,7),(2,4,6,8)$ 后，新的
$\left|a_{s+2,1}-a_{s+2,2}\right|+\left|a_{s+2,3}-a_{s+2,4}\right|+\left|a_{s+2,5}-a_{s+2,6}\right|+\left|a_{s+2,7}-a_{s+2,8}\right|$ 相比原来的
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 至少减少 2 ，这与
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 的最小性矛盾；
情况 2－2：如果 $a_{s, 4}-a_{s, 3} \geq 1$ ，则对该数列连续作两次变换 $(2,3,5,8),(2,3,6,7)$ 后，新的
$\left|a_{s+2,1}-a_{s+2,2}\right|+\left|a_{s+2,3}-a_{s+2,4}\right|+\left|a_{s+2,5}-a_{s+2,6}\right|+\left|a_{s+2,7}-a_{s+2,8}\right|$ 相比原来的
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 至少减少 2 ，这与
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 的最小性矛盾．
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的 $j=1,2,3,4$ 都有 $\left|a_{s, 2 j-1}-a_{s, 2 j}\right| \leq 1$ ．
假设存在 $j=1,2,3,4$ 使得 $\left|a_{s, 2 j-1}-a_{s, 2 j}\right|=1$ ，则 $a_{s, 2 j-1}+a_{s, 2 j}$ 是奇数，所以
$a_{s, 1}+a_{s, 2}=a_{s, 3}+a_{s, 4}=a_{s, 5}+a_{s, 6}=a_{s, 7}+a_{s, 8}$ 都是奇数，设为 $2 N+1$ ．
则此时对任意 $j=1,2,3,4$ ，由 $\left|a_{s, 2 j-1}-a_{s, 2 j}\right| \leq 1$ 可知必有 $\left\{a_{s, 2 j-1}, a_{s, 2 j}\right\}=\{N, N+1\}$ ．
而 $a_{s, 1}+a_{s, 3}+a_{s, 5}+a_{s, 7}$ 和 $a_{s, 2}+a_{s, 4}+a_{s, 6}+a_{s, 8}$ 都是偶数，故集合 $\left\{m \mid a_{s, m}=N\right\}$ 中的四个元素 $i, j, s, t$ 之和
为偶数，对该数列进行一次变换 $(i, j, s, t)$ ，则该数列成为常数列，新的
$\left|a_{s+1,1}-a_{s+1,2}\right|+\left|a_{s+1,3}-a_{s+1,4}\right|+\left|a_{s+1,5}-a_{s+1,6}\right|+\left|a_{s+1,7}-a_{s+1,8}\right|$ 等于零，比原来的
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 更小，这与
$\left|a_{s, 1}-a_{s, 2}\right|+\left|a_{s, 3}-a_{s, 4}\right|+\left|a_{s, 5}-a_{s, 6}\right|+\left|a_{s, 7}-a_{s, 8}\right|$ 的最小性矛盾．
综上，只可能 $\left|a_{s, 2 j-1}-a_{s, 2 j}\right|=0(j=1,2,3,4)$ ，而 $a_{s, 1}+a_{s, 2}=a_{s, 3}+a_{s, 4}=a_{s, 5}+a_{s, 6}=a_{s, 7}+a_{s, 8}$ ，故 $\left\{a_{s, n}\right\}=\Omega(A)$ 是常数列，充分性得证．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析．