充分条件与必要条件　·　历年高考数学真题与解析

2．设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，则＂$a^{3}=b^{3}$＂是＂ $3^{a}=3^{b}$＂的

21．设集合 $M=\{(i, j, s, t)|i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, s \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}, 2|(i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列 $A:\left\{a_{n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，及序列 $\Omega: \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}, \omega_{k}=\left(i_{k}, j_{k}, s_{k}, t_{k}\right) \in M$ ，定义变换 $T:$ 将数列 A 的第 $i_{1}, j_{1}, s_{1}, t_{1}$ 项加 1 ，得到数列 $T_{1}(A)$ ；将数列 $T_{1}(A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, s_{2}, t_{2}$ 列加1，得到数列 $T_{2} T_{1}(A) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ ，记为 $\Omega(A)$ ．
（1）给定数列 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$ ，写出 $\Omega(A)$ ；
（2）是否存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_{1}+2, a_{2}+6, a_{3}+4, a_{4}+2, a_{5}+8, a_{6}+2, a_{7}+4, a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：＂存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数

列＂的充要条件为＂$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$＂．

2．＂$a^{2}=b^{2}$＂是＂$a^{2}+b^{2}=2 a b$＂的（ ）

7．＂ $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=1$＂是＂ $\sin \alpha+\cos \beta=0$＂的

7．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，设甲：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列；乙：$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，则（）

8．若 $x y \neq 0$ ，则＂$x+y=0$＂是＂$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$＂的（ ）

2．已知 $a \in \mathbf{R}$ ，则＂$a>6$＂是＂$a^{2}>36$＂的（ ）

3.

已知 $f(x)$ 是定义在上 $[0,1]$ 的函数，那么＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增＂是＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$＂的

9．已知 $\alpha, \beta \in R$ ，则＂存在 $k \in Z$ 使得 $\alpha=k \pi+(-1)^{k} \beta$＂是＂ $\sin \alpha=\sin \beta$＂的（ ）．

4．（5分）设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 是非零实数，则＂ $\mathrm{ad}=\mathrm{bc}$＂是＂ $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 成等比数列＂的

6．（4 分）已知平面 $\alpha$ ，直线 $m, n$ 满足 $m \not \subset \alpha, n \subset \alpha$ ，则＂$m / / n$＂是＂$m / / \alpha$＂的（）

6．（5 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则＂$d>0$＂是＂$S_{4}+S_{6}> 2 \mathrm{~S}_{5}{ }^{\prime \prime}$ 的（ ）

5．（5分）（2016•天津）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则＂ $\mathrm{q}<0$＂是＂对任意的正整数 $\mathrm{n}, ~ \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}-1^{+}} \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}}<0^{\prime \prime}$ 的（ ）

5．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}, n \geq 3$ ．若 $p: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 成等比数列；
$q:\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)=\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}\right)^{2}$ ，则

3．（5分）函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处导数存在，若 $p: f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0: q: x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的

极值点，则

5．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则＂$q>1$＂是＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂的

8．原命题为＂若 $\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}

20．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第 $n$ 项之后各项 $a_{n+1}, a_{n+2} \ldots$ 的最小值记为 $B_{n}, d_{n}=A_{n}-B_{n}$ ．
（I）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3 \ldots$ ，是一个周期为 4 的数列（即对任意 $\left.n \in N^{*}, a_{n+4}=a_{n}\right)$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；
（II）设 $d$ 是非负整数，证明：$d_{n}=-d(n=1,2,3 \ldots)$ 的充分必要条件为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 d 的等差数列；
（III）证明：若 $a_{1}=2, d_{n}=1(n=1,2,3, \ldots)$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项只能是 1 或者 2 ，且有无穷多项为 1 ．

（4）＂$a \leq 0$＂＂是函数 $f(x)=|(a x-1) x|$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调递增＂的

20．（本小题共13分）
若数列 $A_{n}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geq 2)$ 满足 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1(k=1,2, \cdots, n-1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.
（I）写出一个E数列 $\mathrm{A}_{5}$ 满足 $a_{1}=a_{3}=0$ ；
（II）若 $a_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n}=2011$ ；
（III）在 $a_{1}=4$ 的 E 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ 成立得 n 的最小值．

7．（5分）（2009•陕西）＂$m>n>0$＂是＂方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆＂的 ）