已知等差数列 a_ n 的公差为 2 π 3，集合 S=…——2023 高考数学第 10 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答。

【详解】依题意，等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{n}=a_{1}+(n-1) \cdot \frac{2 \pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} n+\left(a_{1}-\frac{2 \pi}{3}\right)$ ，
显然函数 $y=\cos \left[\frac{2 \pi}{3} n+\left(a_{1}-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]$ 的周期为 3 ，而 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，即 $\cos a_{n}$ 最多 3 个不同取值，又

$\left\{\cos a_{n} \mid n \in \mathrm{~N}^{*}\right\}=\{a, b\}$,

则在 $\cos a_{1}, \cos a_{2}, \cos a_{3}$ 中， $\cos a_{1}=\cos a_{2} \neq \cos a_{3}$ 或 $\cos a_{1} \neq \cos a_{2}=\cos a_{3}$ ，
于是有 $\cos \theta=\cos \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)$ ，即有 $\theta+\left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$ ，解得 $\theta=k \pi-\frac{\pi}{3}, k \in \mathrm{Z}$ ，
所以 $k \in \mathrm{Z}, a b=\cos \left(k \pi-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left[\left(k \pi-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{4 \pi}{3}\right]=-\cos \left(k \pi-\frac{\pi}{3}\right) \cos k \pi=-\cos ^{2} k \pi \cos \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ ．
故选：B