2020 高考数学第 18 题答案解析

18．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次 ，整理数据得到下表（单位：天）：

| 锻炼人次空气质量等级 | ［0，200］ | （200，400］ | （400，600］ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |

| 4 （中度污染） | 7 | 2 | 0 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天＂空气质量好＂；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天＂空气质量不好＂。根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

| | 人次 $\leq 400$ | 人次 $>400$ |
| :--- | :--- | :--- |
| 空气质量好 | | |
| 空气质量不好 | | |

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

| $P\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |