某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等…——2020 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为 $1 , 2 , 3 , 4$ 的概率分别为 $0.43 , 0.27$ 、 $0.21 , 0.09$ ；（2） 350 ；③有，理由见解析。

【解析】
【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为 $1 , 2 , 3 , 4$ 的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以 100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 $2 \times 2$ 列联表，计算出 $K^{2}$ 的观测值，再结合临界值表可得结论。
【详解】①由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 1 的概率为

$\frac{2+16+25}{100}=0.43$ ，等级为 2 的概率为 $\frac{5+10+12}{100}=0.27$ ，等级为 3 的概率为
$\frac{6+7+8}{100}=0.21$ ，等级为 4 的概率为 $\frac{7+2+0}{100}=0.09$ ；
②由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
$\frac{100 \times 20+300 \times 35+500 \times 45}{100}=350$
③ $2 \times 2$ 列联表如下：

$K^{2}=\frac{100 \times(33 \times 8-37 \times 22)^{2}}{55 \times 45 \times 70 \times 30} \approx 5.820>3.841$,
因此，有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题．