已知函数 f(x)=2 cos (ω x+ ) 的部分图像…——2021 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $-\sqrt{3}$

【解析】

【分析】首先确定函数的解析式，然后求解 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值即可．
【详解】由题意可得：$\frac{3}{4} T=\frac{13 \pi}{12}-\frac{\pi}{3}=\frac{3 \pi}{4}, \therefore T=\pi, \omega=\frac{2 \pi}{T}=2$ ，
当 $x=\frac{13 \pi}{12}$ 时，$\omega x+\varphi=2 \times \frac{13 \pi}{12}+\varphi=2 k \pi, \therefore \varphi=2 k \pi-\frac{13}{6} \pi(k \in Z)$ ，
令 $k=1$ 可得：$\varphi=-\frac{\pi}{6}$ ，
据此有：$f(x)=2 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right), f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=2 \cos \frac{5 \pi}{6}=-\sqrt{3}$ ．

故答案为：$-\sqrt{3}$ ．
【点睛】已知 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的部分图象求其解析式时，$A$ 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 $\omega$ 和 $\varphi$ ，常用如下两种方法：
①由 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ 即可求出 $\omega$ ；确定 $\varphi$ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的＂零点＂横坐标 $x_{0}$ ，则令 $\omega x_{0}+\varphi=0$（或 $\omega x_{0}+\varphi=\pi$ ），即可求出 $\varphi$ ．
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或＂零点＂）坐标代入解析式，再结合图形解出 $\omega$ 和 $\varphi$ ，若对 $A, \omega$ 的符号或对 $\varphi$ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求。