2015_退役省自主命题 (2015·文)
9．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，过 F 做 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}$ 的垂线与双曲线交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，若 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B} \perp \mathrm{~A}_{2} C$ ，则双曲线的渐近线的斜率为
【答案】C
【解析】由已知得右焦点 $F(c, 0)$（其中 $c^{2}=a^{2}+b^{2}, c>0$ ），
$A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0) ; \quad B\left(c,-\frac{b^{2}}{a}\right), C\left(c, \frac{b^{2}}{a}\right) ;$
从而 $A_{1} \dot{B}=\left(c+a,-\frac{b^{2}}{a}\right), A_{2} \dot{C}=\left(c-a, \frac{b^{2}}{a}\right)$ ，又因为 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B} \perp \mathrm{~A}_{2} C$ ，
所以 $A_{1} \bar{B} \bullet A_{2} \bar{C}=0$ ，即 $(c-a) \cdot(c+a)+\left(-\frac{b^{2}}{a}\right) \cdot\left(\frac{b^{2}}{a}\right)=0$ ；
化简得到 $\frac{b^{2}}{a^{2}}=1 \Rightarrow \frac{b}{a}= \pm 1$ ，即双曲线的渐近线的斜率为 $\pm 1$ ；
故选 C．
【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积．
【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到 $a$ 与 $b$的关系式来求解．本题属于中档题，注意运算的准确性．