2019_新课标 I 卷 (2019·理)
16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点．若 $\overrightarrow{F_{1} A}=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{F_{1} B} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ －
【答案】 2 ．
【解析】
【分析】
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
【详解】如图，
由 $\overrightarrow{F_{1} A}=\overrightarrow{A B}$ ，得 $F_{1} A=A B$ ．又 $O F_{1}=O F_{2}$ ，得 OA 是三角形 $F_{1} F_{2} B$ 的中位线，即 $B F_{2} / / O A, B F_{2}=2 O A$ ．由 $\overrightarrow{F_{1} B} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0$ ，得 $F_{1} B \perp F_{2} B, O A \perp F_{1} A$ ，则 $O B=O F_{1}=O F_{2}$ ，有 $\angle O B F_{2}=\angle B F_{2} O=2 \angle O B F_{1}=2 \angle O F_{1} B, \angle A O B=\angle A O F_{1}$ ．又OA与 OB 都是渐近线，得 $\angle B O F_{2}=\angle A O F_{1}$ ，则 $\angle B O F_{2}=60^{0}$ ．又渐近线 OB 的斜率为 $\frac{b}{a}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ ，所以该双曲线的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}=2$ ．
【点睛】此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其离心率的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到 $\angle B O F_{2}=\angle A O F_{1}=\angle B O A_{2}=60^{\circ}$ ，即得到渐近线的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，从而突破问题障碍。