已知双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\frac{3 \sqrt{5}}{5} \# \# \frac{3}{5} \sqrt{5}$

## 【解析】

**方法一**：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 $\left|A F_{2}\right|,\left|B F_{2}\right|,\left|B F_{1}\right|,\left|A F_{1}\right|$ 关于 $a, m$ 的表达式，从而利用勾股定理求得 $a=m$ ，进而利用余弦定理得到 $a, c$ 的齐次方程，从而得解．
**方法二**：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 $x_{0}=\frac{5}{3} c, y_{0}=-\frac{2}{3} t, t^{2}=4 c^{2}$ ，将点 A 代入双曲线 $C$ 得到关于 $a, b, c$ 的齐次方程，从而得解；

**方法一**：

依题意，设 $\left|A F_{2}\right|=2 m$ ，则 $\left|B F_{2}\right|=3 m=\left|B F_{1}\right|,\left|A F_{1}\right|=2 a+2 m$ ，
在Rt $\triangle A B F_{1}$ 中， $9 m^{2}+(2 a+2 m)^{2}=25 m^{2}$ ，则 $(a+3 m)(a-m)=0$ ，故 $a=m$ 或 $a=-3 m$（舍去），
所以 $\left|A F_{1}\right|=4 a,\left|A F_{2}\right|=2 a,\left|B F_{2}\right|=\left|B F_{1}\right|=3 a$ ，则 $|A B|=5 a$ ，
故 $\cos \angle F_{1} A F_{2}=\frac{\left|A F_{1}\right|}{|A B|}=\frac{4 a}{5 a}=\frac{4}{5}$ ，
所以在 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 中， $\cos \angle F_{1} A F_{2}=\frac{16 a^{2}+4 a^{2}-4 c^{2}}{2 \times 4 a \times 2 a}=\frac{4}{5}$ ，整理得 $5 c^{2}=9 a^{2}$ ，
故 $e=\frac{c}{a}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ．

**方法二**：
依题意，得 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ，令 $A\left(x_{0}, y_{0}\right), B(0, t)$ ，
因为 $\overrightarrow{F_{2} A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{F_{2} B}$ ，所以 $\left(x_{0}-c, y_{0}\right)=-\frac{2}{3}(-c, t)$ ，则 $x_{0}=\frac{5}{3} c, y_{0}=-\frac{2}{3} t$ ，
又 $\overrightarrow{F_{1} A} \perp \overrightarrow{F_{1} B}$ ，所以 $\overrightarrow{F_{1} A} \cdot \overrightarrow{F_{1} B}=\left(\frac{8}{3} c,-\frac{2}{3} t\right)(c, t)=\frac{8}{3} c^{2}-\frac{2}{3} t^{2}=0$ ，则 $t^{2}=4 c^{2}$ ，

又点 A 在 $C$ 上，则 $\frac{\frac{25}{9} c^{2}}{a^{2}}-\frac{\frac{4}{9} t^{2}}{b^{2}}=1$ ，整理得 $\frac{25 c^{2}}{9 a^{2}}-\frac{4 t^{2}}{9 b^{2}}=1$ ，则 $\frac{25 c^{2}}{9 a^{2}}-\frac{16 c^{2}}{9 b^{2}}=1$ ，
所以 $25 c^{2} b^{2}-16 c^{2} a^{2}=9 a^{2} b^{2}$ ，即 $25 c^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)-16 a^{2} c^{2}=9 a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)$ ，
整理得 $25 c^{4}-50 c^{2}+9 a^{4}=0$ ，则 $\left(5 c^{2}-9 a^{2}\right)\left(5 c^{2}-a^{2}\right)=0$ ，解得 $5 c^{2}=9 a^{2}$ 或 $5 c^{2}=a^{2}$ ，
又 $e>1$ ，所以 $e=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 或 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍去），故 $e=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ．
故答案为：$\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于 $a, b, c$ 的齐次方程，从而得解．