（12分）已知数列 a_ n 中， a_ 1 =1，前 n…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【考点】 8 H ：数列递推式．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）直接利用已知，求出 $a_{2}, a_{3}$ ；
（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可。

【解答】解：（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n+2}{3} a_{n}$ ，
可知 $S_{2}=\frac{4}{3} a_{2}$ ，得3 $\left(a_{1}+a_{2}\right)=4 a_{2}$ ，
解得 $a_{2}=3 a_{1}=3$ ，由 $S_{3}=\frac{5}{3} a_{3}$ ，
得3 $\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)=5 a_{3}$ ，
解得 $a_{3}=\frac{3}{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)=6$ ．
②由题意知 $a_{1}=1$ ，
当 $n>1$ 时，有 $a_{n}=s_{n}-s_{n-1}=\frac{n+2}{3} a_{n}-\frac{n+1}{3} a_{n-1}$ ，
整理得 $a_{n}=\frac{n+1}{n-1} a_{n-1}$ ，
于是 $a_{1}=1$ ，
$a_{2}=\frac{3}{1} a_{1}$,
$a_{3}=\frac{4}{2} a_{2}$,
$\ldots$,
$a_{n-1}=\frac{n}{n-2} a_{n-2}$,
$a_{n}=\frac{n+1}{n-1} a_{n-1}$,
将以上 n 个式子两端分别相乘，
整理得：$a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ 。
综上 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$
【点评】本题考查数列的项的求法，累积法的应用，考查计算能力．