（12分）已知等比数列 a_ n 中， a_ 1 = 1…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【考点】89：等比数列的前 n 项和．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列， $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{3}$ ，公比 $\mathrm{q}=\frac{1}{3}$ ，求出通项公式 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ 和

前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，然后经过运算即可证明．
（II）根据数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和对数函数运算性质求出数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。
【解答】证明：（1）∵ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{3^{\mathrm{n}}}$ ，
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{\mathrm{n}}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{\mathrm{n}}}}{2}$
又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$
$\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2}$
（II）$\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$
$\therefore \mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-\mathrm{n} \log _{3} 3\right)$
$=-(1+2+\ldots+n)$
$=-\frac{n(n+1)}{2}$
∴ 数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式为： $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质