已知 a_ n 是各项均为正数的等比数列， a_ 1 =2…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$a_{n}=2^{2 n-1}$ ；②$S_{n}=n^{2}$ ．

## 【解析】

【分析】
（1）本题首先可以根据数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列将 $a_{3}$ 转化为 $a_{1} q^{2}, a_{2}$ 转化为 $a_{1} q$ ，再然后将其带入 $a_{3}=2 a_{2}+16$ 中，并根据数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数以及 $a_{1}=2$ 即可通过运算得出结果
（2）本题可以通过数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式，

再通过数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式得知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果。

【详解】（1）因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_{3}=2 a_{2}+16, a_{1}=2$ ，所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$ ，

所以 $2 q^{2}=4 q+16$ ，解得 $q=-2$（舍去）或 4 ，
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列，$a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。
（2）因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$ ，所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$ ，
所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列，$S_{n}=\frac{1+2 n-1}{2}{ }^{\prime} n=n^{2}$ 。
本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题。