设等比数列 a_ n 满足 a_ 1 +a_ 2 =4,…——2020 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$a_{n}=3^{n-1}$ ；
②$m=6$ ．

## 【解析】

## 【分析】

①设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
②由①求出 $\left\{\log _{3} a_{n}\right\}$ 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 $S_{n}$ ，根据已知列出关于 $m$ 的等量关系式，求得结果．

【详解】①设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，
根据题意，有 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+a_{1} q=4 \\ a_{1} q^{2}-a_{1}=8\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ q=3\end{array}\right.$ ，
所以 $a_{n}=3^{n-1}$ ；
（2）令 $b_{n}=\log _{3} a_{n}=\log _{3} 3^{n-1}=n-1$ ，
所以 $S_{n}=\frac{n(0+n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$ ，
根据 $S_{m}+S_{m+1}=S_{m+3}$ ，可得 $\frac{m(m-1)}{2}+\frac{m(m+1)}{2}=\frac{(m+2)(m+3)}{2}$ ，
整理得 $m^{2}-5 m-6=0$ ，因为 $m>0$ ，所以 $m=6$ ，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目．