已知 a, b R , a b>0，函数 f(x)=a x…——2021 高考数学第 9 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程．
【详解】由题意得 $f(s-t) f(s+t)=[f(s)]^{2}$ ，即 $\left[a(s-t)^{2}+b\right]\left[a(s+t)^{2}+b\right]=\left(a s^{2}+b\right)^{2}$ ，对其进行整理变形：
$\left(a s^{2}+a t^{2}-2 a s t+b\right)\left(a s^{2}+a t^{2}+2 a s t+b\right)=\left(a s^{2}+b\right)^{2}$,
$\left(a s^{2}+a t^{2}+b\right)^{2}-(2 a s t)^{2}-\left(a s^{2}+b\right)^{2}=0$,
$\left(2 a s^{2}+a t^{2}+2 b\right) a t^{2}-4 a^{2} s^{2} t^{2}=0$,
$-2 a^{2} s^{2} t^{2}+a^{2} t^{4}+2 a b t^{2}=0$,

所以 $-2 a s^{2}+a t^{2}+2 b=0$ 或 $t=0$ ，

其中 $\frac{s^{2}}{\frac{b}{a}}-\frac{t^{2}}{\frac{2 b}{a}}=1$ 为双曲线，$t=0$ 为直线．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题．