若函数 f(x)=a x^ 2 -2 x- |x^ 2 -…——2023 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $(-\infty, 0) \cup(0,1) \cup(1,+\infty)$

## 【解析】

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 $a$ 的取值范围．
【详解】（1）当 $x^{2}-a x+1 \geq 0$ 时，$f(x)=0 \Leftrightarrow(a-1) x^{2}+(a-2) x-1=0$ ，
即 $[(a-1) x-1](x+1)=0$ ，
若 $a=1$ 时，$x=-1$ ，此时 $x^{2}-a x+1 \geq 0$ 成立；
若 $a \neq 1$ 时，$x=\frac{1}{a-1}$ 或 $x=-1$ ，
若方程有一根为 $x=-1$ ，则 $1+a+1 \geq 0$ ，即 $a \geq-2$ 且 $a \neq 1$ ；
若方程有一根为 $x=\frac{1}{a-1}$ ，则 $\left(\frac{1}{a-1}\right)^{2}-a \times \frac{1}{a-1}+1 \geq 0$ ，解得：$a \leq 2$ 且 $a \neq 1$ ；
若 $x=\frac{1}{a-1}=-1$ 时，$a=0$ ，此时 $1+a+1 \geq 0$ 成立．
（2）当 $x^{2}-a x+1<0$ 时，$f(x)=0 \Leftrightarrow(a+1) x^{2}-(a+2) x+1=0$ ，
即 $[(a+1) x-1](x-1)=0$ ，
若 $a=-1$ 时，$x=1$ ，显然 $x^{2}-a x+1<0$ 不成立；
若 $a \neq-1$ 时，$x=1$ 或 $x=\frac{1}{a+1}$ ，
若方程有一根为 $x=1$ ，则 $1-a+1<0$ ，即 $a>2$ ；
若方程有一根为 $x=\frac{1}{a+1}$ ，则 $\left(\frac{1}{a+1}\right)^{2}-a \times \frac{1}{a+1}+1<0$ ，解得：$a<-2$ ；
若 $x=\frac{1}{a+1}=1$ 时，$a=0$ ，显然 $x^{2}-a x+1<0$ 不成立；
综上，
当 $a<-2$ 时，零点为 $\frac{1}{a+1}, \frac{1}{a-1}$ ；

当 $-2 \leq a<0$ 时，零点为 $\frac{1}{a-1},-1$ ；
当 $a=0$ 时，只有一个零点 -1 ；
当 $0当 $a=1$ 时，只有一个零点 -1 ；
当 $1当 $a>2$ 时，零点为 $1,-1$ ．
所以，当函数有两个零点时，$a \neq 0$ 且 $a \neq 1$ ．
故答案为：$(-\infty, 0) \cup(0,1) \cup(1,+\infty)$ ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出。