曲线与方程　·　历年高考数学真题与解析

9.

已知 $a, b \in \mathrm{R}, a b>0$ ，函数 $f(x)=a x^{2}+b(x \in \mathrm{R})$ 。若 $f(s-t), f(s), f(s+t)$ 成等比数列，则平面上点 $(s, t)$ 的轨迹是（ ）

15．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，作垂直于 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , B$ 两点，作垂直于 $y$ 轴的垂线交椭圆于 $C , D$ 两点，且 $A B=C D$ ，两垂线相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是

9、已知点 P 和 Q 的横坐标相同， P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍， P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ ．若 $\mathrm{C}_{1}$ 的渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x$ ，则 $\mathrm{C}_{2}$ 的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．（ 5 分）（ 2013 • 广东）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos t \\ y=\sqrt{2} \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$C$ 在点 $(1,1)$ 处的切线为 1 ，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 1 的极坐标方程为 $\_\_\_\_$。

（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $x O y$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1
（I）求椭圆 $C$ 的方程
（II）若 $P$ 为椭圆 $C$ 的动点，$M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点，$\frac{|O P|}{|O M|}=e$
（e为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 。
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，$\frac{|O P|}{|O M|}=\lambda$ ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

21．（本小题满分 12 分）

设点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在直线 $x=m(y \neq \pm m, 0（1）过点 $A$ 作直线 $x-y=0$ 的垂线，垂足为 $N$ ，试求 $\triangle A M N$ 的重心 $G$ 所在的曲线方程；

（2）求证：$A , M , B$ 三点共线．