2024_北京卷 (2024)
18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元
| 赔偿次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 单数 | 800 | 100 | 60 | 30 | 10 |
在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；
（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。
(1) $\frac{1}{10}$; (2) （i） 0.122 万元 （ii） 0.1252 万元
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$\frac{1}{10}$
②（i） 0.122 万元
（ii） 0.1252 万元
【解析】
【分析】①根据题设中的数据可求赔偿次数不少 2 的概率；
②（i）设 $\xi$ 为赔付金额，则 $\xi$ 可取 $0,0.8,0.1 .6,2.4,3$ ，用频率估计概率后可求 $\xi$ 的分布列及数学期望，从而可求 $E(X)$ ．
（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求 $E(Y)$ ．
【小问 1 详解】
设 $A$ 为＂随机抽取一单，赔偿不少于 2 次＂，
由题设中的统计数据可得 $P(A)=\frac{60+30+10}{800+100+60+30+10}=\frac{1}{10}$ ．
【小问 2 详解】
（i）设 $\xi$ 为赔付金额，则 $\xi$ 可取 $0,0.8,1.6,2.4,3$ ，
由题设中的统计数据可得 $P(\xi=0)=\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}, P(\xi=0.8)=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$ ，
$P(\xi=1.6)=\frac{60}{1000}=\frac{3}{50}, \quad P(\xi=2.4)=\frac{30}{1000}=\frac{3}{100}$,
$P(\xi=3)=\frac{10}{1000}=\frac{1}{100}$,
故 $E(\xi)=0 \times \frac{4}{5}+0.8 \times \frac{1}{10}+1.6 \times \frac{3}{50}+2.4 \times \frac{3}{100}+3 \times \frac{1}{100}=0.278$
故 $E(X)=0.4-0.278=0.122$（万元）。
（ii）由题设保费的变化为 $0.4 \times \frac{4}{5} \times 96 \%+0.4 \times \frac{1}{5} \times 1.2=0.4032$ ，
故 $E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252$（万元）